Числовые ряды. Понятие числового ряда.Сходимость. признаки сходимости. Примеры

Числовым рядом называется сумма вида

, (1.1)

где , , ,…, ,…, называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.

Суммы

и т.д

составленные из первых членов ряда (1.1), называются частичными суммами этого ряда.

Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм .

Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу , то ряд называется сходящимся, а число - суммой сходящегося ряда, т.е.

и .Эта запись равносильна записи

.Если частичная сумма ряда (1.1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела (стремится к или ), то такой ряд называется расходящимся.

Если ряд сходящийся, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S.

Разность называется остатком ряда. Если ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток стремится к нулю, то ряд сходится.

Необходимый признак сходимости ряда.

Ряд может сходиться только при условии, что его общий член при неограниченном увеличении номера стремится к нулю: .