Интегрирование произведения четырех степеней син кос

Интегрирование произведения чётных степеней sin x, cos x. При вычислении интегралов следует понизить степень тригонометрических функций переходом к косинусу двойного угла: . Угол удваивается до тех пор, пока одна из степеней не станет нечётной, после этого можно воспользоваться приёмами 10.9.2.1 или 10.9.2.2. (вопрос 31)

Интегрирование произведений синусов и косинусов кратных дуг. При нахождении интегралов вида , , с помощью школьных тригонометрических формул , , задача сводится к интегрированию линейной комбинации тех же функций (с другими аргументами).

33. , где - натуральное число, - функция, рационально зависящая от своих аргументов.
Пример такой функции - . Как видно из этого примера, к рассматриваемому типу сводятся интегралы вида , где p, q, r, … - рациональные числа, так как, если n - общий знаменатель чисел p, q, r, …, то подынтегральная функция рационально зависит от x и . Подстановка x = t ⁿ рационализирует подынтегральную функцию, т.е. сводит её к рациональной функции переменной t.

34. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен, мы уже рассматривали некоторые методы интегрирования таких функций. Здесь мы рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральнуюфункцию к функции, рационально зависящей от и . После выделения полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной) интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов: , , . Далее:

рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t).

рационализируется подстановкой (или

рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t

Определенный интеграл. Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Классы интегрируемых функций

Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа. Вычисление площадей, длин дуг, объёмов, работы, скорости, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла, который, в свою очередь, тесно связан с неопределенным. Пусть на отрезке [ a, b ] задана функция y = f (x). Разобьём отрезок [ a, b ] произвольным образом на n частей точками [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; длину i -го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку и составим сумму .
Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ a, b ] на части [ x_{i -1} , x_i ], ни от выбора точек , то функция f (x) называется интегрируемой по отрезку [ a, b ], а этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [ a, b ] и обозначается

. Вычисление площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ a, b ] (b > a) задана непрерывная функция y = f (x), принимающая на этом отрезке неотрицательные значения: при . Требуется определить площадь S криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [ a, b ], слева и справа - прямыми x = a и x = b, сверху – функцией y = f (x).
Для решения этой задачи разделим произвольным образом основание AD фигуры точками x ₀ = a, x ₁ , x ₂ , …, x_{n -1} = a, x_n = b на n частей [ x ₀ , x ₁], [ x ₁ , x ₂], …, [ x_{i -1} , x_i ], …, [ x_{n -1} , x_n ]; символом будем обозначать длину i -го отрезка: . На каждом из отрезков [ x_{i -1} , x_i ] выберем произвольную точку , найдём , вычислим произведение (это произведение равно площади прямоугольника P_i с основанием [ x_{i -1} , x_i ] и высотой ) и просуммируем эти произведения по всем прямоугольникам. Полученную сумму обозначим S _ступ: .
S _ступ равно площади ступенчатой фигуры, образованной прямоугольниками P_i, i = 1,2,…, n; на левом рисунке эта площадь заштрихована. S _ступ не равна искомой площади S, она только даёт некоторое приближение к S. Для того, чтобы улучшить это приближение, будем увеличивать количество n отрезков таким образом, чтобы максимальная длина этих отрезков стремилась к нулю (на рисунке ступенчатые фигуры изображены при n = 7 (слева) и при n = 14 (справа)). При разница между S _ступ и S будет тоже стремиться к нулю, т.е.
.

Классы интегрируемых функций

-Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

-Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

37Свойства определённого интеграла

1. Линейность. Если функции y = f (x), y = g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация Af (x) + Bg (x) (A, B = const), и
.

2. Аддитивность. Если y = f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ] и точка c принадлежит этому отрезку, то .

Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу.

3. Интеграл от единичной функции (f (x) = 1 ). Если f (x) = 1, то .
4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .

5. Теоремы об оценке интеграла.
5.1. Если на отрезке [ a, b ] функция удовлетворяет неравенству , то .

5.2. Если функция f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ], то .

6. Теорема о среднем. Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .