Матрица линейного преобразования координат

Матрицей линейного оператора ^A: Xn > Ym в базисах e1, e2, …, en и f1, f2, …, fm называется матрица размера m? n, у которой

1) столбцы определяются как координатные столбцы образов базисных векторов пространства Xn: ^Ae1, ^Ae2, …, ^Aen в базисе пространства Ym;

2) строки определяются как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора через координаты самого этого вектора.

Матрицы мы будем обозначать теми же буквами, что и операторы (только без крышки):

Замечания.

1. Пользуясь определением, можно строить матрицу оператора любым из двух способом (по строкам или по столбцам).

2. Количество столбцов матрицы линейного оператора ^A: Xn > Ym равно размерности исходного пространства Xn, а количество строк —

размерности пространства Ym.

3. Как в случае векторов мы можем, фиксировав базис, вместо абстрактного линейного пространства, оперировать с координатным пространством (т.е. с наборами чисел), так и в случае линейных (и только линейных!) операторов мы можем оперировать с их матрицами (т.е. с таблицами чисел).

4. Если оператор ^A отображает пространство Xn в Xn, то оба базиса совпадают и матрица оператора

^A (квадратная) определяется заданием

одного базиса.

19. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.Свойства:1.Критерий Сильвестра 2.Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны. 3.Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен. 4.Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. 5.Для любой невырожденной квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид. 6.Разность между числом положительных (p) и отрицательных (n-p) членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Сигнатура, также как и числа положительных и отрицательных слагаемых, не зависят от способов приведения квадратичной формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).7.Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используется метод Лагранжа.

Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей.

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y1 = a11x1 + a12x2

y2 = a12x1 + a22x2

где у1 и у2 – координаты вектора в базисе.

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х1, х2) = х1у1 + х2у2.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х1 и х2 – скалярное произведение.

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

При переходе к новому базису от переменных х1 и х2 мы переходим к переменным и.

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х1, х2) = 27.

Коэффициенты: а11 = 27, а12 = 5, а22 = 3.

Составим характеристическое уравнение:;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l2 - 30l + 56 = 0

l1 = 2; l2 = 28;