Линейные операторы. Матрица линейного оператора

Пусть заданы линейные пространства X и Y. Правило, по которому каждому элементу x e X ставится в соответствие единственный элемент y e Y, называется оператором, действующим в линейных пространствах X, Y. Результат действия оператора A на элемент x обозначают y = A x или y = A(x). Если элементы x и y связаны соотношением y = A x, то y называют образом элемента x; элемент x прообразом элемента y.

Множество элементов линейного пространства X, для которых определено действие оператора A, называют областью определения оператора и обозначают D(A).

Множество элементов линейного пространства Y, которые являются образами элементов из области определения оператора A, называют образом оператора и обозначают Im(A). Если y = A x, то x e D(A), y e Im(A).

Оператор A, действующий в линейных пространствах X, Y называется линейным оператором, если

A(u+v)=A(u)+A(v) и A(au)=aA(u) и для любых u,v e X и для любого числа a.

Если пространства X и Y совпадают, то говорят, что оператор действует в пространстве X. 2) Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(x)=n и пусть e1, e2,..., en - базис в X. Обозначим через A e1 = (a11,...,an1),..., A en = (a1n,...,ann) образы базисных векторов e1, e2,..., en.

Матрица столбцами которой являются координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. Замечание 1. Если оператор А нулевой, то все элементы матрицы А этого оператора равны нулю в любом базисе, т.е. А — нулевая матрица.

Замечание 2. Если оператор А единичный, т. е. А = I, то матрица этого оператора будет единичной в любом базисе. Иными словами, в этом случае А = Е, где Е — единичная матрица. В дальнейшем единичную матрицу мы будем обозначать также символом I.