Интеграл Фурье

Функция f (x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число, что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции.

Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.

2) Если функция f (x) период Т, то функция f (ax) имеет период .

3) Если f (x) - периодическая функция периода Т, то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f (x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1)

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

где n =1,2,...

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье.

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f (x), если определяется равенством

, где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n =1,2,...)

Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

, где .