Нормированное уравнение плоскостей

Общее уравнение называют нормированным, если . Любое уравнение плоскости легко пронормировать. Надо обе части уравнения умножить на нормирующий множитель .

12 билет

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание 11.2 Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы (11.11) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение -- это уравнение плоскости.

Общие уравнения прямой "неудобны" для получения информации о положении прямой.

Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему (11.11) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.

Пример 11.2 Требуется найти какую-нибудь точку на прямой

Решение. Положим . Получим систему

Решая ее, находим , .

Ответ: .

Если в качестве параметра взять время, то точка будет двигаться по прямой со скоростью , причем в момент времент ее положение совпадает с точкой . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

От векторного соотношения (11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как -- координаты точки , то , , . Из формулы (11.12) получим

(11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части -- координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений (11.13) выразим параметр :

Так как во всех трех соотношениях параметр имеет одно и то же значение, то

(11.14)

Эти уравнения называются каноническими¹ уравнениями прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки: A (x ₁, y ₁) и B (x ₂, y ₂), записывается так:

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле: