Нормальное уравнение прямой – описание и пример

Выведем нормальное уравнение прямой.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. Зададим прямую в этой системе координат, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой. В качестве нормального вектора нашей прямой возьмем вектор единичной длины , с началом в точке O. Его координаты равны соответственно и , где и - углы между вектором и положительными направлениями координатных осей Ox и Oy соответственно, то есть, . В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмем точку А и будем считать, что она находится на расстоянии p единиц () от точки O в положительном направлении вектора (при p = 0 точка А совпадает с началом координат), то есть, .

Получим уравнение, которое задает эту прямую линию.

Очевидно, что точка лежит на рассматриваемой прямой тогда и только тогда, когдачисловая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, при условии .

- радиус-вектор точки , следовательно, , что было показано в разделе координаты радиус-вектора точки. Тогда из определения скалярного произведения векторов мы получаем равенство , а это же скалярное произведение в координатной форме имеет вид . Следовательно, или . На этом вывод нормального уравнения прямой закончен.

Полученное уравнение вида называют нормальным уравнением прямой или нормированным уравнением прямой. Уравнение также называют уравнением прямой в нормальном виде.

Очевидно, нормальное уравнение прямой представляет собой общее уравнение прямой вида , в котором числа A и B таковы, что длина вектора равна единице, а число C неотрицательно.

Из вывода нормального уравнения прямой виден его геометрический смысл: нормальное уравнение прямой вида задает в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую с нормальным вектором единичной длины расположенную на расстоянии p единиц от начала координат в положительном направлении вектора .

Для примера приведем нормальное уравнение прямой . Оно в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает прямую линию, нормальный вектор которой имеет координаты , и эта прямая удаленна от начала координат на 3 единицы в направлении, совпадающем с направлением нормального вектора .