Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю.

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому-что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

14 вопрос: Предел функций. Основные теоремы о пределах.

Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство

.

Если есть предел функции f(x) при , то пишут: или f (x) при .

Если при , то на графике функции , т.к. из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее чем на , точки М графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при стремится к некоторому пределу , то будем писать

и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .

Легко доказать, что оба определения предела функции эквива­лентны. Замечание.

Если f (x) стремится к пределу b ₁ при х, стре­мящемся к некоторому числу так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут и называют b ₁ пределом функ­ции f (x) в точке слева. Если х при­нимает только значения большие, чем , то пишут и называют b ₂, пределом функции в точке справа.

Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше оп­ределения предела в точке . И об­ратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке справа и слева и они равны.

Замечание.
Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллю­стрируется следующим примером.

Пример. Докажем, что . Здесь функция не определена при х = 2.

Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство

, (1)

если | х — 2 | < . Но при х 2 неравенство (1) эквивалентно неравенству

(2)

или .

Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь ). А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4.

Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положитель­ное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенст­ву , будет выполняться неравенство .

Зная смысл символов: очевидным является и смысл выражений:

стремится к b при и

стремится к b при ,

которые символически записываются так:

, .

Не для всякой функции существует предел

1. Предел константы равен самой этой константе:

с = с.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

[ k • f (х)] = k • f (х).

3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

[ f (х) ± g (х)] = f (х) ± g (x).

4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

[ f (х) • g (х)] = f (х) • g (x).

5. Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Рассмотрим несколько типичных примеров нахождения пределов функций.

Пример 1. Найти

При х —> 3 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому непосредственное применение теоремы о пределе частного здесь невозможно. Однако данную дробь можно сократить:

(Обратите внимание на следующую важную особенность, характерную для рассмотренного примера. Когда мы говорим о пределе f (х), то обычно предполагаем, что функция f (х) определена во в с е х точках, достаточно близких к точке х = а. Однако функция определена лишь для положительных значений х. Поэтому, рассматривая предел этой функции, мы фактически предполагаем, что х —> 0, оставаясь все время положительным. В подобных случаях говорят не просто о пределе, а об одностороннем пределе. С аналогичными примерами мы еще встретимся при выполнении упражнений к этому параграфу.)

Пример 4. Найти

Предел знаменателя дроби при х —> 0 равен 0. Поэтому непосредственное использование теоремы о пределе частного здесь невозможно. Кроме того, данную дробь нельзя сократить, как мы делали это в примерах 2 и 3. В данном случае числитель и знаменатель дроби следует умножить на выражение √1 + х + 1, сопряженное знаменателю дроби. В результате получим:

Пример 5. Найти

При х —> 4 числитель и знаменатель данной дроби стремятся к нулю. Поэтому применить теорему о пределе дроби нельзя. Преобразуем дробь, представив знаменатель в виде произведения:

15 вопрос: Предел числовой последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. (Функция натурального аргумента, ее типы образования дискретное прям. Множество)