Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол j с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cosj т. е. А=(F•S).
Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример 6.3.
Вычислить работу, произведенную силой F=(3;2;4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положенияA(2;4;6) в положение В(4;2;7). Под каким углом к АВ направлена сила F?

6 вопрос: ассимптоты графика функции (вертикальные, наклонные)
Назовём асимптотами прямые линии, к которым неограниченно приближается график функции, когда точка графика неограниченно удаляется от начала координат. В зависимости от поведения аргумента при этом, различаются два вида асимптот: вертикальные и наклонные.

Определение 7.1 Вертикальной асимптотой графика функции называется вертикальная прямая , если или при каком-либо из условий: , , . Заметим, что мы при этом не требуем, чтобы точка принадлежала области определения функции , однако она должна быть определена по крайней мере в какой-либо из односторонних окрестностей этой точки: или , где .

Пример 7.1 Рассмотрим функцию . График имеет вертикальную асимптоту , поскольку при выполняется условие , а также при выполняется условие .

Рис.7.1.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.2 Рассмотрим функцию . Её график имеет вертикальную асимптоту , так как при . То, что при функция не стремится к бесконечности, для наличия асимптоты неважно: для того, чтобы прямая являлась вертикальной асимптотой, достаточно, чтобы график приближался к ней хотя бы с одной стороны. (К слову сказать, при .)

Рис.7.2.Вертикальная асимптота функции
Пример 7.3 Рассмотрим функцию . Прямая является вертикальной асимптотой графика , так как при . Заметим, что слева от точки функция вообще не определена.

Рис.7.3.Вертикальная асимптота функции

Пример 7.4 График функции не имеет при вертикальной асимптоты, так как -- ограниченная (числом 1) и, следовательно, локально ограниченная при и не стремящаяся к бесконечности функция. Хотя аргумент синуса -- функция -- имеет вертикальную асимптоту .

Рис.7.4.График функции не имеет вертикальной асимптоты

Пример 7.5 Прямая не является вертикальной асимптотой графика функции , поскольку здесь нельзя утверждать, что при или функция стремится к бесконечности. При некоторых малых значениях значения могут быть как угодно велики, однако при других малых функция обращается в 0: так, при () значения функции равны и стремятся к бесконечности при , а при всех вида () значения функции равны 0. В то же время как те, так и другие точки при увеличении попадают всё ближе и ближе к точке 0. Значит, функция не является бесконечно большой при , и прямая -- не асимптота.

Рис.7.5.График функции не имеет вертикальной асимптоты
Итак, для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности.
Определение 7.2 Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если выполнены два условия:
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

(7.1)

Наклонной асимптотой графика функции при называется прямая , если
1) некоторый луч целиком содержится в ;
2) расстояние по вертикали между графиком и прямой стремится к 0 при :

Рис.7.6.Графики функций, имеющие наклонные асимптоты при и при
В случае, если наклонная асимптота расположена горизонтально, то есть при , она называется горизонтальной асимптотой. Таким образом, горизонтальная асимптота -- частный случай наклонной асимптоты; прямая является горизонтальной асимптотой графика при или , если

или

соответственно.
Пример 7.6 Рассмотрим функцию . График этой функции имеет наклонную асимптоту при . Действительно,

при

Однако эта функция не определена ни на каком луче вида , так что её график не может иметь асимптоты при .

Рис.7.7.Наклонная асимптота функции
Пример 7.7 График функции имеет горизонтальную асимптоту как при , так и при , поскольку, очевидно, при . Можно сказать также, что асимптота при у этого графика совпадает с асимптотой при .

Рис.7.8.Горизонтальная асимптота функции

7 вопрос: Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие вогнутости/ выпуклости.

График дифференцируемой функции y = f (x)

называется вогнутым вверх (или выпуклым вниз) в промежутке < а, в >, если соответствующая часть кривой y = f (x) (x Î < a, b >) расположена выше касательной, проведенной в любой ее точке M (x, f(x)).

Рис. 12.1.

Определение 12.1^/ y = f (x) (x Î < a, b >) называется выпуклым вверх (или вогнутым вниз) в промежутке < а, b >, если соответствующая часть кривой y = f (x) расположена ниже касательной, проведенной в любой точке M (x, f (x)).

Рис. 12.2.

Теорема 12.1. (Достаточные условия выпуклости графика)

1. Если для дважды дифференцируемой функции y = f (x) вторая производная f^² (x) > 0 " x Î < a, b>, то график этой функции выпуклый вниз в данном промежутке.

2. Если f^² (x) < 0 (x Î < a, b >), то график у = f (x) выпуклый вверх.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^² (x) > 0 при а < х < в и х_о Î< а, в >. Сравним ординату в точке х функции у = f (x) с ординатой ее касательной в точке х_о

. (12.1)

Рассмотрим (12.2)

Используя теорему Лагранжа, будем иметь

f (x) - f (x_o) = f^/ (x) (x - x_o), где x Î (x_o, x),

тогда получаем

d = (x -x_o) [f^/ (x) - f^/ (x_o) ] (12.3)

Далее, f^²(x) = [f^/ (x)]^/ > 0 Þ f^/ (x) возрастает.

Пусть х < х_о, тогда x < x_o и, следовательно, в силу возрастания f^/ (x) имеем f^/ (x) < f^/ (x_o) из (12.3) имеем, что d >.

Рис. 12.4.

Если теперь x > x_o Þ x > x_o, поэтому f^/ (x) > f^/ (x_o), но d > снова.

То есть при x ¹ x_o, имеем , то есть так как x_о - произвольная точка, то при " х Î < а.в > кривая y = f (x) расположена выше своих касательных и, значит, график y = f (x) выпуклый вниз.

(2. Доказать самостоятельно)

Определение 12.2. Точкой перегиба графика дифференцируемой функции
y = f (x) называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот.
Теорема 12.2. Если для функции y = f (x) в некоторой точке x_о f^² (x_o) = 0 и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка М(х_o,f(x_o)) является точкой перегиба функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f^² (x_o) = 0 в точке М (х_о , f (x_o)) меняет свой знак, для определенности, с “+” на “ -”. Тогда левее точки х_о

(х < х_о) f^² (x) > 0, а поэтому при х_о - e < х < х_о график этой функции выпуклый вниз.

Для х > х_о, т.е. при х_о < х < х_о + e у = f (x) выпукла вверх (Ç).

Таким образом, в точке М кривая y = f (x) меняет вогнутость; согласно определения М - точка перегиба.

З а м е ч а н и е. В точке перегиба х_о функции y = f (x) f^² (x) может также не существовать; например, обращаться в бесконечность.

Рис. 12.5.

Пример. (Кривая Гаусса).

.

Тогда и , решая уравнение

получим .

Таблица 12.1.

x	(-¥; - )	-	(- ; )		( ; +¥)
y//	+		-		+

Следовательно, точки точки перегиба

8 вопрос: Теоремы Голля, Ла Гранта, Коши.

9 вопрос: Производная функции. Ее геометрический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождение первообразной — интегрирование.