Розв’язання. І-ий спосіб. За означенням

І-ий спосіб. За означенням

;

ІІ-ий спосіб. Оскільки ; ; , то середнє арифментичне сталої , повтореної тричі, є ця ж величина, тому залишається знайти середнє арифметичне для чисел , , і додати до сталої результат: .

Приклад 2. Знайти середнє арифметичне статичного ряду

Розв’язання. Тут варіанти рівновідділені з кроком .

Позначимо через ту варіанту, якій відповідає найбільша частота. Це , бо її частота . Введемо допоміжну варіанту за формулою

.

Тоді: ;

Запишемо статистичний ряд для з тими ж частотами , які відповідають :

Знаходимо середнє арифметичне

Оскільки із виразу маємо

то

Можна перевірити, що

.

Перейдемо до загального викладу спрощеного способу.

Для статистичного ряду

			...		...
			...		...

де - рівновіддалені варіанти з кроком ,

або ,

знайти середнє арифметичне значення варіант.

Введемо допоміжні варіанти за формулою

, (1)

де -та із варіант , якій відповідає найбільша із частот .

Складемо статистичний ряд для допоміжних варіант

			...		...
			...		...
			...		...

і знайдемо середнє арифметичне допоміжних варіант

. (2)

Тоді має місце.

Теорема. Середнє арифметичне значення основних рівновіддалених з кроком варіант дорівнює добутку середнього арифметичного допоміжного ряду на крок плюс значення тієї варіанти, якій відповідає найбільша із частот ряду, тобто

. (3)

Доведення. Із заміни (формула (1)) знаходимо

і підставляємо у формулу середнього арифметичного.

.

Отже, формула (3) доведена.

Приклад 3. Знайти середнє арифметичне за даними таблиці 3 (див. § 2.1, табл. 3), використовуючи спрощений спосіб,

.

Розв’язання. Найбільшою частотою у таблиці є =23, їй відповідає варіанта =175, позначимо її через , крок для рівновіддалених варіант

.

Вводимо допоміжні варіанти

,

Запишемо новий статистичний ряд

	-1

Знаходимо

.

Тоді за формулою (3)

.

Отже, підтвердилось значення, знайдене раніше у прикладі 3 §2. 4. 1.

2.4.3. Середнє лінійне відхилення

У таблиці 1 (див. § 2.4.1, приклад 1) вже приводились результати здачі іспита у двох групах по 20 студентів в кожній.

Таблиця 1

Оцінки	“2”	“3”	“4”	“5”
Кількість оцінок у І групі
Кількість оцінок у ІІ групі

За даними таблиці було установлено, що середні бали у цих групах однакові (), тому для більш детального вивчення статистичних рядів необхідно враховувати розсіювання варіант відносно середнього арифметичного.

Для характеристики розсіювання використовуються середнє лінійне відхилення, а також дисперсія.

Означення. Середнім лінійним відхиленням називається середнє арифметичне абсолютних величин відхилень варіант від їх середньої арифметичної

. (1)

Приклад. За даними таблиці 1 знайти середні лінійні відхилення.

Розв’язання.

Оскільки середні арифметичні вже відомі , то за формулою (1) знаходимо

Отже, , ; , і це означає, що значення варіант (оцінок) у другій групі більш розсіяні ніж у першій.