Векторное поле. Дивергенция. Ротор

Пусть - область в трёхмерном пространстве. Векторным полем на называется векторная функция , заданная в точках , где - радиус-вектор точки . Аналогично определяется плоское векторное поле.

Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля . Векторные линии поля находятся из системы дифференциальных уравнений

.

Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля , то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими , называется векторной трубкой поля .

Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина .

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор .

Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством . Так, например: , , .

Оператором Лапласа (лапласианом) называется скалярный символ , определяемый равенством .

11.95 Найти векторные линии плоского векторного поля :