Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению

Пусть - область в двумерном пространстве. Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Линии , где называются линиями уровня скалярного поля .

Пусть - область в трёхмерном пространстве.

Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Поверхности , где называются поверхностями уровня скалярного поля .

Градиентом скалярного поля называется вектор

.

Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле , где , , - направляющие косинусы вектора .

Градиент скалярного поля в точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через в сторону возрастания поля, а его модуль равен наибольшей производной по направлению в этой точке.

11.81 Найти линии уровня следующих скалярных полей: