Числовые ряды с положительными членами. Пусть задана бесконечная последовательность чисел а1, а2, , аn,

Пусть задана бесконечная последовательность чисел а ₁, а ₂,…, а_n,….

Числовым рядом называется выражение вида

а ₁+ а ₂+ а ₃+ а_n +… = .

Числа а ₁, а ₂,…, а_n,… называются членами ряда, число а_n – общим членом ряда.

Суммы вида S₁= а ₁, S₂= а ₁ + а ₂, S₃= а ₁ + а ₂ + а ₃,…, S _n = а ₁ + а ₂ +…+ а_n называются частичными суммами.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм , в противном случае ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости

Если ряд сходится, то общий член ряда n ®¥ стремится к нулю, т.е. .

Если , то ряд расходится.

Признаки сходимости рядов с положительными членами

1 -й признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами, причем a_n £ b_n для всех номеров, начиная с некоторого n=k. Тогда

1) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

2) если ряд расходится, то расходится и ряд .

2- й признак сравнения

Пусть и - ряды с положительными членами и пусть существует конечный, отличный от нуля предел . Тогда оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.

Для сравнения часто используются следующие ряды:

1) , при этом, если a>1, то ряд сходится, если a£1, то ряд расходится;

2) , если | q |<1, то ряд сходится; в противном случае – расходится.

Признак Даламбера

Пусть - ряд с положительными членами, и существует конечный предел.

, тогда если k <1, то ряд сходится, если k >1, то ряд расходится. Если k =1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.

Признак Коши

Пусть - ряд с положительными членами и существует конечный предел:

, тогда если k <1, то ряд сходится, если k> 1, то ряд расходится, если k =1, то ряд может как сходиться, так и расходиться; в этом случае требуется исследовать ряд другими методами.

Интегральный признак сходимости

Пусть - ряд с положительными членами, для которого существует положительная, непрерывная и монотонно убывающая на промежутке [1;¥) функция f(x) такая, что f(n)=a_n, n= 1;2;…. Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

1. Для следующих рядов проверить необходимый признак сходимости:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

2. Исследовать на сходимость ряд, применяя 1-й признак сравнения

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) .

3. Исследовать ряд на сходимость, применяя 2-й признак сравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

4. Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

5. Исследовать ряды на сходимость, применяя признак Коши:

а) ; б) ; в) .

6. Применяя интегральный признак, исследовать ряды на сходимость:

а) ; б) ; в) .

7. Исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и) .

_______________________