Оригинал и изображение

Комплекснозначная функция f(t) действительного переменного называется оригиналом, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Функция f(t) определена и непрерывна вместе со своими производными достаточно высокого порядка при t ³0. Это означает, что в каждом конкретном промежутке функция f(t) имеет лишь конечное число точек разрыва I рода. Это условие обеспечивает интегрируемость функции f(t)e^-pt в любом конечном промежутке [0; а ];

2. f(t) º0 для всех t< 0;

3. Существуют действительные числа M> 0; t ₀³0 и S такие, что | f(t) |< Me^st при всех t>t ₀³0.

Пусть f(t) – оригинал, а p=a+i b - комплексное число. Изображением оригинала f(t) называется функция F(p), определяемая равенством:

.

Функция F(p) называется также преобразованием Лапласа от функции f(t). Тот факт, что функция F(p) является изображением оригинала f(t), обозначают так: f(t)¸F(p) или F(p)=L{f(t)}.

Изображение оригинала обозначается той же буквой, только заглавной, например: f(t)¸F(p), g ₁ (t)¸ G ₁ (p) и т.д.

Важнейшие свойства преобразования Лапласа отражены в следующих теоремах.

Теорема 1 (единственности изображения).

Если оригиналы f(t) и g(t) непрерывны и имеют одинаковое изображение F(p), то эти функции совпадают.

Теорема 2 (свойство линейности).

Для произвольных комплексных постоянных a и b справедливо соотношение: a f(t)+ b g(t)¸ a F(p)+ b G(p).

Теорема 3 (подобия).

Для любого действительного r >0 справедливо соотношение: .

Теорема 4 (смещения).

Для любого комплексного числа р ₀ имеется соотношение: .

Теорема 5 (запаздывания).

Для любого действительного положительного числа t имеется соотношение: f(t-t)¸ e^{-p t} F(p).

Теорема 6. (дифференцирование оригинала).

Если функция f(t) и ее производные являются оригиналами и f(t)¸F(p), то f'(t)¸ pF(p)-f( 0 ),

f"(t)¸ p ² F(p)-pf( 0 )-f'( 0 ),

… … …

f⁽ⁿ⁾(t)¸ pⁿF(p)-p^{n- 1} f( 0 )-p^{n- 2} f'( 0 )-...-pf ^{(n- 1)}(0)- f ^{(n- 1)}(0).

Теорема 7 (о дифференцировании изображения).

Если f(t)¸F(p), то - tf(t)¸ F'(p). В общем случае (-1) ⁿtⁿ f(t)¸F⁽ⁿ⁾(p).

Теорема 8 (об интегрировании оригинала).

Если f(t)¸F(p), то .

Теорема 9 (об интегрировании изображения).

Если f(t)¸F(p) и интеграл сходится, то .

Теоремы о дифференцировании и интегрировании оригинала демонстрируют тот факт, что операции дифференцирования и интегрирования оригиналов сводятся соответственно к операциям умножения и деления на р их изображения.

Таблица изображений некоторых основных функций

1. ;	2. ;
3. ;	4. ;
5. ;	6. ;
7. ;	8. ;
9. ;	10. ;
11. ;	12.
13.	14. f'(t)¸ pF(p)-f( 0 );
15. f"(t)¸ p 2 F(p)-pf( 0 )-f'( 0 );	16. f(n)(t)¸ pnF(p)-(pn- 1 f( 0 )+ +p n- 2 f'( 0 )+...+f (n- 1)(0)).

______________________

1. Используя таблицу изображений и свойство линейности преобразования Лапласа, найти изображения следующих оригиналов:

а) f(t)= 2 +t ³ +tcos 2 t; б) f(t)=te ^{2 t} -sin 3 t; в) f(t)=e^{t+ 5}.

2. Найти оригиналы для следующих изображений:

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

3. Найти оригиналы следующих изображений:

а) ; б) .

4. Найти изображения следующих оригиналов:

а) f(t)= 3 e^-t + e^tcos 3 t; б) f(t)=te^{t- 1}+ t ² e^{t -2}.

5. Найти оригиналы следующих изображений:

а) ; б) ;

в) .

_____________________