Понижение порядка

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков, которые в общем виде записываются как F(x,y,y',…,y⁽ⁿ⁾) =0 или y⁽ⁿ⁾=f(x,y',…,y^(n-1)).

Рассмотрим три типа таких уравнений:

1 тип: y⁽ⁿ⁾=f(x). (4.1)

Решение такого уравнения находится n -кратным последовательным интегрированием обеих частей уравнения (4.1); , и так далее.

Заметим, что общее решение будет содержать n произвольных постоянных с₁,с₂,…,с_n.

2 тип: y⁽ⁿ⁾=f(x,y',…,y^(n-1)) – это уравнение не содержит в явном виде искомой функции у. Далее будем рассматривать частный случай, когда n =2, то есть

y»=f(x,y') (4.2)

Пусть y'=p, тогда y»=p ' и уравнение (4.2) принимает вид p'=f(x,p), которое является дифференциальным уравнением 1-го порядка. После отыскания решения последнего уравнения находим искомую функцию у. Общее решение содержит две произвольные постоянные.

3 тип: y⁽ⁿ⁾=f(у,y',…,y^(n-1)) – не содержит в явном виде независимую переменную х, при n =2 имеем

y»=f(у,y') (4.3)

Для понижения порядка рассмотрим новую функцию р=р(у), где у=у(х). Если y'=p, то y»=pp'. Теперь уравнение (4.3) имеет вид . После отыскания функции р из равенства y'=p найдем искомую функцию у.

Решить уравнения

1. а) y ^IV =sin 2 x; б) ; в) при условиях: у (1)=2; у '(1)=1; у»(1)=1; г) у»= xe^-x, если у (0)=1; у '(0)=0; д) y»=2sinxcos ² x-sin ³ x.

2. а) х ³ y»+ x ² y'= 1; б) y»xlnx=y'; в) xy»-y'=e^xx ²; г) xy»=( 1+2 x ² )y'.

3. а) yy»+y’ ²=0; б) y»+ 2 y(y’) ³=0; в) y’’= .

4. а) y ^IV =x; б) y»’=x+cosx; в) y"=xe^x, если y( 0 )=y'( 0 )= 0; г) (xlnx)y"=y'; д) xy"=y'+x ² ; е) y"tgy= 2(y') ² ;ж) yy''-y' ²=0.

__________________