Системы координат в пространстве

Декартова система координат в пространстве определяется точкой и базисом из трех векторов. Точка O называется началом координат. Прямые, проведенныечерез начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат. В трехмерном пространстве они называются осями абсцисс, ординат и аппликат. Оси координат являются числовыми осями с началом в точке O, положительным направлением, совпадающим с направлением соответствующего базисного вектора, и единицей длины, равной длине этого вектора. Координатами точки M называются координаты вектора OM (радиус–вектора). Если базис ортонормированный, то связанная с ним декартова система координат называется прямоугольной.

Поверхностью 2–го порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется уравнением Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0

где A2 + B2 + C2 ≠ 0.

Цилиндрические и сферические координаты определяются точкой O, исходящим из нее лучом l и единичным вектором n, перпендикулярным l. (рис. 2)

Проведем через точку O перпендикулярно вектору n плоскость P и обозначим проекцию точки M на эту плоскость M '. В цилиндрических координатах положение точки M определяется числами ρ, j и z, где ρ и j — полярные координаты точки M ', а z — проекция вектора OM на вектор n.

Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n. — с положительной частью оси аппликат (рис. 3).

Декартовы координаты x, y и z точки M выражаются через ее цилиндрические координаты ρ, j и z по формулам x = ρ cos j, y = ρ sin j, z = z. В сферических координатах положениеточки M определяется числами ρ, j и θ, где ρ = | OM |, j — полярный угол точки M ', а θ — угол между векторами n и OM. Мы будем отсчитывать угол θ от вектора n по направлению к вектору OM. Угол θ принимает значения от 0 до π. Пусть точка O совпадает с началом прямоугольной декартовой системы координат, луч l — с положительной частью оси абсцисс, а вектор n — с положительной частью оси аппликат (рис. 4), то Декартовы координаты x, y и z точки M выражаются через ее сферические координаты ρ, j и θ по формулам x = ρ cos j sinθ, y = ρ sin j sinθ, z = ρ cosθ.