Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными

Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:

Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.

1) два комплексных числа z ₁ = (x ₁, y ₁) и z ₂ = (x ₂, y ₂) называются равными, если x ₁ = x ₂ и y ₁ = y ₂;

2) суммой комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z вида z = (x ₁ + x ₂, y ₁ + y ₂);

3) произведением комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z = (x ₁ x ₂ - y ₁ y ₂, x ₁ y ₂ + x ₂ y ₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R.

Разностью комплексных чисел z ₁ и z ₂ называется комплексное число z такое, что z ₂ + z = z ₁, откуда находим z = z ₁ - z ₂ = (x ₁ - x ₂, y ₁ - y ₂).

Частным комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z такое, что. Отсюда находим

№ 13. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами.

- алгебраическая форма

Сложение комплексных чисел. Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Вычитание комплексных чисел. Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Умножение комплексных чисел. раскрыть скобки по правилу умножения многочленов и помним, что

Деление комплексных чисел. Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Возведение в степень. В общем случае получим: ,

Извлечение корня из комплексного числа. Отсюда:

№ 14. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала

координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который

на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного

числа стандартно обозначают: или По теореме Пифагора

легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного

числа: . Данная формула справедлива для любых значений

«а» и «бэ»

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосьюдействительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: . Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
.

Главное значение аргумента комплексного числа z, где z не = 0 называется значение аргумента этого числа из промежутка [-pi; pi]. ArgZ=argZ+2Pin
cos(ф+2pin)=cosф, sin(ф+2pin)=sinф, -pi<argZ<=pi.

тригонометрической формой комплексного числа. Где ф-argZ

в показательной форме записывается строго по форме .

Действия

1) Умножение 2) Деление

3)Введение в степень +isin(xa)) - формула Муавра 4) извлечение корня из n степени

, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

№ 15. Корень n-ой степени из комплексного числа. Логарифм и степень комплексного числа.

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически: Сначала на

калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем

окружность данного радиуса. Теперь берем аргумент первого корня и выясняем,

чему равняется угол в градусах:. Отмеряем транспортиром и

ставим на чертеже точку .Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку . По такому же алгоритму строится точка Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом .

Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

№ 16. Правило Крамера. Решение линейных систем алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраичесикх уравнений - это система, в которой все уравнения линейны.

Линейное уравнение - это уравнение, в котором все неизвестные входят в первой степени.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). x₁ = D₁/detA; x₂ = D₂/detA; x₃ = D₃/detA;

Решения систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательного исключения неизвестных. С помощью простых преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
Пример решения системы двух линейных уравнений методом Гаусса
Разделим первое уравнение системы на 3
Умножим уравнение (*) на 4 и вычтем из второго уравнения. Получим следующую

систему уравнений. Из последнего уравнения находим y=2. Подствляя найденное

значение в первое уравнение, находим x.
И окончательно, x=4, y=2.

№ 17. Системы линейных алгебраических уравнений. Общие понятия. Теорема Кронекера-Капелли.

Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество. Ax=B.

СЛАУ не однородна, если хотябы один одно из чисел b1, b2, b3, b4… отличен от 0.

СЛАУ однородна, если b1=b2=b3….=0. Ax=0.

Решением СЛАУ называется упорядоченный набор чисел х1 х2 х3 при постановке которых в уравнение системы каждый из этих выражений обращается в тождество.

Теорема Кронекера-Капелли. Неоднородная СЛАУ является совместной только, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

№ 18. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических уравнений. Теоремы о существовании решений. Структура общего решения.

Слау называется однородной если В1=В2=Вм=0 Ax=0. Слау называется не однородной если В1, B2, …, Bm не равно 0. Свойства однородной системы.

1) любая однородная слау совместна, имеет решение X1=0 X2=0 Xn=0

2) любая линейная комбинация решений однородной слау является решение этой системы

3) однородная слау имеет не нулевое решение тогда и только тогда когда ранг матрицы её коэффициента меньше количества её неизвестных

4) однородная слау имеет только нулевое решение когда ранг коэффициента равен количеству не известных этой системы. Свойства неоднородной системы.

1) разность 2-ух решений неоднородной слау является решение неоднородных систем равных. Ax=B Ay=B A(x-y)=Ax-Ay=B-B=0

U=x-y

2) общее решение совместных неоднородных систем общей слау представляет собой сумму некоторого решения этой системы и общего решения однородной системы х=y+-u’

3) совместная неоднородная слау имеет единственное решение тогда и только тогда когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы и это равно количеству неизвестных.

4) неоднородная слау имеет бесконечно много решений тогда и только тогда когда ранг расширенной матрицы меньше n.

Теоремы о существовании решений.

1. Неоднородная СЛАУ имеет единственное решение только, когда соотведствующая однородная СЛАУ имеет только нулевое решение.

2.Неоднородная СЛАУ имеет единственное решение только тогда, когда rangA=rang(A/B)=n, где n-количиство неизвестных этой системы.

3. Разность двух решений неоднородной СЛАУ являеться решением соотведствующей однородной СЛАУ.

4. Неоднородная СЛАУ имеет бесконечное множество решений только тогда, когда rangA=rang(A/B)<n, где n-количество неизвестных этой системы.

5. Если неоднородная СЛАУ имеет бесконечное множество решений, то все решения находятся из формулы x=v+y, где v- общее решение соответствующего однородного СЛАУ, y – некоторое решение неоднородного СЛАУ.

Теорема:

Если – ФСР однородных слау, то её общее решение Х слау предстоит виде

x=

№ 19. Системы координат на плоскости.

Система координат на плоскости или в пространстве позволяет каждой точке сопоставить набор действительных чисел - ее координат. В результате геометрическая задача сводится к алгебраической задаче.

Декартова система координат на плоскости.

Определение. Осью координат называется прямая, на которой заданы положительное направление, начало отсчета 0 и единичный отрезок.

Определение Декартовой системой координат на плоскости называется упорядоченная совокупность двух пересекающихся осей координат с общим началом О.

Полярная система координат

Определение. Полярная система координат из точки О на плоскости, называется полюсом, луча, исходящего из полюса и единичного отрезка.

Луч, исходящий из полюса, называется полярным лучом или полярной осью.

Полярными координатам точки А на плоскости являются полярный радиус r и полярный угол.

Определение. Полярным радиусом точки А называется расстояние от точки А до полюса.

Определение. Полярным углом точки А, называется величина ориентированного угла между полярным лучом ОР и углом ОА. Прямоугольные координаты точки М выражаются через полярные:

№ 20. Прямая на плоскости. Различные уравнения прямой на плоскости.

Определение 1. Нормальный вектор прямой это любой не нулевой вектор расположенный на прямой перпендикулярной данной прямой.

Определение 2. Направляющий вектор прямой – это любой не нулевой вектор расположенный на этой прямой или прямой параллельной.