П.3.1. Устойчивость задачи Коши по начальным данным

Рассмотрим задачу Коши

(3.1)

Пусть - решение задачи коши с начальным условием . Тогда для погрешности можно написать дифференциальное уравнение

(3.2)

где .

Решая дифференциальное уравнение, получаем

.

Следовательно, если наложить условие , т.е. , то или , т.е. решение задачи Коши устойчиво по начальным данным (погрешность не возрастает). Если же , то получаем неравенство при , т.е. решение задачи Коши неустойчиво по начальным данным.

Решение задачи (3.2) при ведет себя аналогично решению линейного уравнения

(3.3)

Это уравнение можно рассматривать как модельное при исследовании устойчивости. Решение этого уравнения имеет вид . Его модуль не возрастает при , т.е. и решение устойчиво.