Классификация численных методов решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка

Глава 3. Методы численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Классификация численных методов решения задачи Коши для ОДУ 1-го порядка.

Будем рассматривать ОДУ 1-го порядка

(1.1)
с начальными условиями

(1.2)
где - заданная непрерывная функция.

Приближенные методы решения можно разделить на приближенно-аналитические и численные. В приближенно-аналитических методах строится последовательность функций (выражающихся через элементарные функции или интегралы), сходящаяся к точному решению. Элементы последовательности могут использоваться как приближенные решения. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений решения в отдельных точках (на выбранной сетке значений аргумента). В таком случае приближенное решение получается в виде таблицы.

Рассмотрим разбиение отрезка на n интервалов точками , так что

.

Такое разбиение называется сеткой. Точки - узлами сетки. Если - постоянное число, не зависящее от i, то сетка называется равномерной. Величина h называется шагом сетки.

Численные методы позволяют находить приближенные значения для точного решения задачи Коши в узлах сетки: . В качестве приближенного решения в таком случае выступает таблица значений , которую называют сеточной функцией.

Большинство численных методов решения ОДУ можно записать в следующем виде:

(1.3)
где F – некоторая неизвестная функция, зависящая от вида уравнения, выбранной сетки и метода решения.

При q = 0, s = 0, 1 – метод называется одношаговым;

q > 1 или s > 1 – многошаговым;

s = 0 – явные;

s = 1 – неявные;

s > 1 – с забеганием вперед.

Т.о., одношаговые методы имеют вид:

- явные

- неявные.