П.6.1. Сценарий построения разностных схем

Для решения задачи коши наиболее употребительными являются q-шаговые методы вида

(6.1)

Рассмотренные ранее одношаговые методы являются частным случаем формы (6.1). Например, при q = 1, b₀ = 0, b₁ = a₀ = 1, a₁ = -1 получаем явную схему Эйлера.

Схема (6.1) будет явной, если b₀ = 0 (в таком случае она называется экстрополяционной). Значения y_i+1 будут тогда определятся из предыдущих значений по явной формуле:

(6.2)

Вычисления начинаются с . Чтобы найти , надо знать значения сеточной функции . Их приходится вычислять с помощью какого-нибудь другого метода, напр. Метода Рунге-Кутта, используя начальное значение .

Если , то схема (6.1) будет неявной (интерполяционной). Тогда для нахождения y_i+1 необходимо решать нелинейное уравнение:

(6.3)

Это уравнение можно решать, например методом Ньютона.

Погрешность аппроксимации схемы (6.1) определяется формулой

, (6.4)

где - точное решение задачи Коши.

Если , то схема имеет порядок аппроксимации, равный a.

Коэффициенты в схеме (6.1) выбираются из условия устойчивости и аппроксимации. Кроме того, поскольку коэффициенты схемы определены с точностью до постоянного множителя, можно считать, что

.

Учитывая, что есть решение дифференциального уравнения при , можно получить второе условие из (6.1)

.

Разлагая (6.4) по степеням h и требуя, чтобы погрешность имела заданный порядок, получим остальной набор параметров для нахождения .

Исторически первые многошаговые схемы появились способом, отличным от вышеизложенного.

Если проинтегрировать дифференциальное уравнение на отрезке , то получим формулу

(6.5)

Заменяя теперь в этом соотношении интеграл некоторой квадратурной формулой, выведенной с помощью замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом, построенным по узлам , получим разностную схему

, (6.6)

где - квадратурная формула.

Очевидно, что формула (6.6) частный случай разностной схемы (6.1).