Выпуклые квадратичные функции

Важную роль в ряде вопросов минимизации играют квадратичные функции, которые в n – мерном случае являются обобщением квадратного трехчлена одной переменной

f (x)=1/2 ax ²+ dx + c.

Функция вида

называется квадратичной функцией n переменных. Если положить , то получим симметрическую матрицу А = (a_ij). Диагональные элементы a_i,i этой матрицы являются коэффициенты при , а недиагональные элементы a_ij = a_ji равны половине коэффициента при х_iх_j. С помощью симметрической матрицы квадратичную функцию можно представить в виде:

f (x) = 1/2(Аx, x)+(d, x)+ c (3.5)

где x = (x ₁, x ₂,..., x_n)^тÎ Eⁿ, d = (d ₁, d ₂,..., d_n)^тÎ Eⁿ – векторы – столбцы.

Так, например, квадратичной функции соответствует

матрица А = ; функции соответствует матрица

А = .

Перечислим основные свойства квадратичных функций.

1. Для градиента квадратичной функции (3.5) справедлива формула:

Ñ f (x)= Ax + d

2. Гессиан квадратичной функции (3.7) совпадает с матрицей A:

Ѳ f (x) = A

3. Квадратичная функция (3.5) с положительно определенной матрицей A сильно выпукла.

Таким образом, для того чтобы функция (3.5) была выпуклой в Eⁿ достаточно, чтобы матрица А была положительно определена.

Пример 3.1. Дана функция f (х) = x ², определенная на множестве (рис. 3.14). Требуется исследовать ее на выпуклость.

Функция является строго выпуклой согласно п.1 замечаний 3.1, т.к. она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадающие точки (рис. 3.10). Более того, функция одновременно является сильно выпуклой, т.к. согласно п. 3 замечаний 3.1. выполняется условие при . Очевидно, условия выпуклости и строгой выпуклости также выполняются (п.3 замечаний 3.1.), что иллюстрирует справедливость п.2 замечаний 3.1.

Рис. 3.10. Графическая иллюстрация примера 3.1