Понятие функций. Пусть X и Y два множества

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ

Понятие функций

Пусть X и Y два множества. Если указано правило, согласно которому каждому элементу множества X поставлен в соответствие определенный элемент множества Y, то говорят, что задана функция f, отображающая X в Y. Этот факт записывают в виде f: X ® Y или y = f (x), где x Î X, y Î Y. Множество X называется областью данных или областью определения функции, а множество Y – множество значений. Функция f (x) представляет собой правило, которое позволяет каждому значению x поставить в соответствие единственное значение y = f (x). В этом случае x – независимая переменная, y – зависимая переменная. Функции y = f (x) = f (x ₁+ x ₂,.., x_n), т.е. функции с областью задания X Ì Eⁿ и множеством значений Y Ì E называют числовыми функциями в отличие от векторных функций, для которых Y Ì E^m, m > 1.

Множество вида

{(x,y)Î E^{n+ 1}½ y = f (x) при некоторых xÎ X }

называют графиком функции y = f (x).

Ряд физических процессов можно описать с помощью непрерывных функций, т.е. функций, которые обладают свойством непрерывности в каждой точке x, принадлежащей областям их определения. Функцию f называют непрерывной в точке x ₀Î X, если для любого числа e > 0 можно указать такое число d_e > 0, что для всех xÎ X Ç U _de (x ₀) выполняется неравенство ½ f (x)- f (x ₀)½ < e. Согласно данному определению функция f в изолированной точке всегда непрерывна.

Напомним, что точка xÎ X называется изолированной точкой множества X, если существует ее окрестность, которая не содержит никаких других точек из X, кроме самой точки x. Функцию, непрерывную в каждой точке множества X, называют непрерывной на множестве X (или просто непрерывной, если X = Eⁿ).

В качестве примеров функций, непрерывных на Eⁿ, приведем линейную функцию f ₁(x) = <c,x>+ b = c ₁ x ₁+ c ₂ x ₂+…+ c_nx_n + b и квадратичную функцию f ₂(x)=1/2<Qx,x>+<c,x>+ b,

где Q– числовая симметрическая матрица размера n х m, с – некоторый вектор из Eⁿ и b – некоторое число, а Qx означает произведение матрицы на вектор по правилам перемножения матриц, принятых в линейной алгебре.