Правило свердлика 4 страница

Наявність max і min не можна було пояснити з законами класичної фізики. Однак найбільш дивне було в тому, що l електрона підрахована з цього досліду збігалася з такою, що була підрахована за формулою Вульфа-Брега, що дійсно пояснювала наявність у електроні хвильових властивостей.

2. Класична механіка стан будь-якої матеріальної точки визначає певними значеннями координат та часу.

r = r (x, y, z, t)

А як же бути з описом стану частинки у мікросвіті за умови наявності у ній хвильових властивостей згідно з гіпотезою де Бройля?

Припустимо, що частинка знаходиться у деякій кінцевій області простору розмірами Dx, Dy, Dz. Можна припустити, що ця частинка у такому об’ємі буде приймати такі значення імпульсу Dp_x, Dp_y, Dp_z, які задовольняють співвідношенням Гейзенберга.

Dp_x ^. Dx ³ h

Dp_y ^. Dy ³ h

Dр_z ^. Dz ³ h

(2)

Формула показує, що чим з більшою точністю Dx відома координата х, тим більша невизначеність у імпульсі Dp_x ® ¥. Якщо частинка знаходиться у збудженому стані деякий час Dt, володіючи енергією Е, то її енергія також може бути задана тільки з точністю DЕ.

- співвідношення невизначеностей для енергій є одним із фундаментальних принципів квантової механіки (якщо електрон падає на ядро v Þ 0, то p = 0. Це суперечить основним положенням квантової механіки).

3. Із розглянутих вище двох питань видно, що описувати по-старому стан частинки не можна.

А як же бути?!

Для опису повединки мікрооб’єктів уводять поняття хвильової функції Y (x, y, z, t). Таким чином,

dW = |Y (x, y, z, t)|2 dxdydz

(3)

dW - імовірність того, що частинка знаходиться в елементі простору

dV = dx dy dz.

Але фізичний зміст має не сама функція, а квадрат її модуля |Y|².

(4)

r_w - густина імовірності, як раз вона і визначає ймовірність перебування частинки у даній точці простору.

Слід сказати, що функція задовольняє такій вимозі нормування:

(5) - умова нормування функції.

Фізичний зміст (5) у тому, що перебування частинки де-не-де у просторі є достовірною подією, ймовірність якої дорівнює 1.

4. Найважливіша проблема квантової механіки - знаходження рівняння аналогічного рівняння Ньютона у класичній механіці. Таке рівняння виведено Шредінгером у 1936 р. Це було рівняння для Y - функції:

(6)

m - маса частинки, яка має потенціальну енергію U(x, y, z)

i - уявна одиниця,

D - оператор Лапласа.

Для більшості фізичних явищ особливо важливим є знаходження незалежних від часу рішень рівняння Шредінгера, які називаються стаціонарними.

Для цього випадку

Y (x, y, z, t) = j (x, y, z) . c (t)

(7)

Підставивши (7) у (6),

(8)

- рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

Е - повна енергія частинки, яка рухається у потенціальному полі з енергією U.

Математика дає розв’язок рівняння (8): це дає набір j_i - власних функцій, які задовольняють рішення (8) та набір Е_і - власних значень енергії.

Таким чином, опис руху частинки зводиться до рішення рівняння Шредінгера, тобто до знаходження j_i та Е_і.

5. Застосуємо рівняння (8) до опису поведінки електрона в атомі водню. Можна показати на основі теорії діференційних рівнянь, що рівняння типу (8) мають рішення, які задовольняють вимоги однозначності, кінцевості та безперервності хвильової функції і її першої похідної тільки при таких значеннях власних енергії:

(9)

n = 1, 2, 3...

Із формули (9) видно, що ми маємо дискретний спектр власних значень енергії, котрі отримали на основі рішення рівняння Шредінгера без якихось додаткових застосувань різних положень, як це було у теорії Бора. Ця формула в точності збігається з аналогічним результатом теорії Бора (8) по передньої лекції.

Із (9) випливає фізично, що всі значення E_n < 0, а з цього виходить, що стан електрона є “зв’язаним”, тобто математично його стан можна описати як його знаходження у гіперболічній потенціальній ямі.

r

n = 3 n = 2 n = 1

Найнижчий рівень (n=1) відповідає основному станові системи, а всі рівні E_n>E₁ (n=2,3...) - збуджені стани. Зі збільшенням n рівні будуть ще тісніше, а при n®¥, Е®0. Слід відмітити, що випадок з E_n>0 теж може випливати із розв’язання рівняння Шредінгера. Фізично це означає рух електрона поблизу ядра або на ¥, а це і є іонізація.

n = 1; z = 1;

У квантовій механіці доводиться, що рівняння Шредінгера задовольняють тільки такі власні функції, що визначаються певними квантовими числами. Введемо числа:

1) n - головне квантове число, згідно з (9) воно приймає значення:

1)

(10)

Фізичний зміст n полягає у тому, що воно визначає номер енергетичного рівня електрона в атомі і приймає тільки дискретні значення.

2) Із рішення рівняння Шредінгера випливає, що момент імпульсу електрона (механічний орбітальний момент) теж квантується за формулою

(11)

l - орбітальне квантове число, яке при заданому n приймає такі значення:

l = 0, 1, 2, 3... (n-1) (12)

Фізичний зміст l полягає в тому, що воно визначає момент імпульсу електрона в атомі і кожному значенню n відповідає орбітальне квантове число.

Згідно з теорією Бора припускається, що при прикладенні до атома зовнішнього магнітного поля вектори механічного моменту L і магнітного моменту `P_n будуть орієнтовані довільним чином відносно напрямку зовнішнього магнітного поля.

Ця помилка усувається у квантовій механіці введенням просторового квантування.

Із розв’язання рівняння Шредінгера виходить:`L_e може приймати не всі орієнтації у просторі, а тільки такі, при яких квантується його проекція на напрямок зовнішнього магнітного поля:

(13)

де Lez – проекція механічного моменту на напрямок зовнішнього магнітного поля.

3) m – магнітне квантове число

(14)

Видно із (11), (13), (14), що L_e може приймати (2l + 1) значень.

6. Для підтвердження ідеї просторового квантування Штерном і Герлахом у 1926 р. були проведені досліди з вимірювання магнітних моментів атомів різних хімічних елементів за величиною сили, діючої на атом у неоднорідному магнітному полі.

+ A

10^-5 мм рт. ст.

S N

- Ag

Атоми срібла, за даними дослідами, відхилялися двояким чином у магнітному полі, що вказувало і відповідало двом орієнтаціям магнітного моменту атома. Але стан електронів у атомах розглядуваних хімічних елементів відповідали значенням l = 0 та m=0?

Квантування якого моменту було знайдено?

Для того, щоб результати досліду відповідали основним положенням квантової механіки, треба було ввести крім орбітального моменту електрона ` L<sub>e</sub>, власний механічний момент електрона `L_es (спін) та власний магнітний момент електрона `P_es.

Спін електрона ніяким чином не пов’язаний із рухом електрона у просторі.

Спін – фундаментальна властивість будь-якої частинки. Згідно з основними положеннями квантової механіки визначається:

(15)

S– спінове квантове число.

Аналогічно раніше введеному може бути 2s+1=2; S=1/2.

Для спіну також характерне вторинне квантування

(16)

m_s– магнітне спінове квантове число.

4) m_s=±1/2

7. Таким чином, для характеристики електронного стану електрона в атомі треба задати тільки значення квантових чисел:

n, l, m, m_s

`r =`r (x, y, z, t) Þ z= z(n, l, m, m_s )

Зв’язок між цими числами регулюється принципом Паулі (1927 р.):

У будь-якому атомі не може бути двох однакових електронів, які б знаходились у однакових стаціонарних станах і які б визначалися набором однакових чисел n, l, m, m_s.

Принцип Паулі пов’язаний з основними обмеженнями квантової механіки та принципом нерозпізнаності частинок, із якого випливає існування двох класів частинок ферміонів і бозонів, для яких характерне існування анти- й симетричних функцій.

S напівцілий

y (-...) = -y () – ферміони (е, р, ⁺n)

S цілий

y (-...) = +y () – бозони (фотони, гравітони, ядра хімічних елементів).

Принцип Паулі з точки зору квантової механіки: ферміони зустрічаються в природі тільки у станах, які описуються антисиметричною функцією.

8. Користуючись принципом Паулі, можна знайти кількість електронів, які знаходяться у станах, що визначаються головним квантовим числом n.

l = 0; S - стан n=1 K – оболонка, 2 eл.

l = 1; p – стан l = 0; m=0; m_s = ± 1/2, 2 eл.

L = 2; d - cтан

n = 2 l = 0,1 m = 0, ± 1

m_s = ± 1/2

2 ел. 2S² l = 0

l = 1 m = 6 ел. 2+6 = 8 ел.

ЛЕКЦІЯ ХХIII

ТЕМА: ЕЛЕМЕНТИ ЗОННОЇ ТЕОРІЇ ТВЕРДИХ ТІЛ.

ПЛАН

1. Енергетичні зони у кристалах.

2. Метали. Діелектрики. Напівпровідники з точки зору зонної теорії
твердих тіл.

3. Власна провідність напівпровідників.

4. Домішкові напівпровідники.

5. Р-п перехід.

6. Вентильний фотоефект.

1. Для опису різних властивостей твердого тіла користуються зонною теорією твердого тіла, яка була створена у 1932 р.

J2S IS

Маємо два атоми, або дві молекули, які розташовані на відстані, що виключає їх взаємодію. Почнемо їх зближати до відстані, котра дорівнює відстані (а) між вузлами кристаличної решітки.

За рахунок перикриття хвильових функцій електронів, які стимулюються переходом електронів з одного атома до другого, буде зростати енергія взаємодії цих часток. При цьому кожен енергетичний рівень ізольованого атома буде розщеплюватись на підрівні, утворюючи й енергетичну зону. А накладання цих зон буде давати енергетичну зону для електронів даного сорту в кристалі.

У кожній зоні – п станів (кількість атомів у кристалах), тому в ній може бути розташовано (2п) електрони. Виходячи з цього, заповнення рівнів буде відбуватися так: спочатку будуть заповнюватися рівні з меншою енергією, а потім усе вищі та вищі. Якщо у якійсь зоні ці рівні зайняті, то ця зона має назву – зона валентності (валентна зона).

Будь-який вплив на електрон цієї зони не змінить розподілу електронів. Потрібна відповідна енергія для переходу електрона з цієї зони у вище розташовану, яка або повністю вільна, або частково заповнена.

Ці зони розділені енергетичним проміжком, який називається заборонена зона.

2.Залежно від характеру заповнення зони провідності (З.П.) та
ширини (3.3.) забороненої зони усі тверді тіла діляться на діелектрики,
провідники та напівпровідники.

Діелектрики. Ширина забороненої зони не більше ніж 5 еВ. У зоні провідності електронів немає. Фізично це означає, що сили притягання електронів у зоні валентності до вузлів решітки настільки великі, що для відриву електрона необхідна додаткова енергія. Тому опір діелектриків дуже великий. Але зі збільшенням температури або під впливом якихось \у зовнішних полів у зоні провідності можуть з'явитися електрони, а при великій напрузі, наприклад, зовнішнього електронного поля може виникнути перекриття енергетичних зон.

Провідники. Якщо АЕ —> 0 або ДЕ=0, тоді електрони або не..

можуть вільно переходити з валентної зони в зону провідності, або внаслідок перекриття зон зона провідності буде частково заповнена. У цьому випадкові маємо справу або з металами або напівметалом.

Напівпровідники. ^Ширина зони – «іеВ. При цьому відрізняють U<t<J>uMe^ бездомішкові напівпровідники (власна провідність) та домішкові напівпровідники.

3. Оскільки ширина 3.3. для напівпровідників «1 еВ, то під дією зовнішнього впливу (теплового, електромагнітного) електрон зможе перейти із валентної зони у зону провідності, а на вакантному місці в ВЗ має бути дірка. Тому власна провідність напівпровідника:

Експериментально було встановлено, що із збільшенням температури збільшується провідність за таким законом:

Це збільшення провідності використовується у термісторах (прилад для регулювання температури).

4. Власна провідність напівпровідників дуже мала, тому на практиці застосовують домішкові напівпровідники. Розглянемо кристал Cr (Si), який складається з чотирьох валентних атомів, і введемо в нього, наприклад, As. У цьому випадкові один валентний електрон As (миш'яку) не буде задіяний в утворенні ковалентного зв'язку й стане електроном провідності.

w

Оскільки його енергія відриву»10'² еВ, то на_п відстані 0,01еВ від ЗП у забороненій зоні з'явиться рівень, із якого електрони будуть переходити у зону провідності, збільшуючи тим самим конентрацію електронів у ЗП. Це напівпровідник п- типу(допорного типу). А якщо у 4-валентну зону добавити 3-валентну зону А1(В), то на атомі утвориться домішковий рівень – дірка, яка буде рухатися аналогічно електрону провідності. На зонній схемі це буде мати такий вигляд:

Це напівпровідники р-типу (акцепторний тип). Електрони із ЗВ будуть переходити на акцепторний рівень, збільшуючи концентрацію дірок у зоні валентності і зумовлюючи тим самим пріоритет діркової провідності.

5. Широко відоме застосування напівпровідників як підсилювачів та випрямлячів струму, які замінюють електронні прегради, для цього застосовують кристали, що мають р-перехід.

P-n-перехід можна отримати із розплаву кристалу германію (напівпровідників р-типу), добавляючи у цей розчин кристалу індію.

Розглянемо схематично, до чого приведе контакт двох напівпровідників із різним типом провідності.

Нехай напівпровідники не контактують (а). Якщо їх привести у контакт (б), то невеличка кількість електронів із зони провідності п-кристалу перейде в р-кристал, а невелика кількість дірок перейде з р-кристалу в n-кристал, унаслідок чого n-провідник зарядиться позитивно, а напівпровідник р-типу негативно "-". Внаслідок цього енергетичні зони напівпровідника n-типу знизяться, а зони напівпровідника р-типу підвищаться. На межі контакту виникне контактна різниця потенціалів Wk-Цей процес буде відбуватися до тих пір, поки не зрівняються швидкості електронних перехідів. Але в п-області електронів більше, але їм треба для переходу в р-область отримати енергію W=qU_к. Однак імовірність отримати таку енергію дуже мала: в р-області, у якій елетронів мало, електрони легко можуть “скотитись з гірки^”.

Прикладемо тепер електронне поле до р-^переходу напругу U. "-" на n, a "+" на р. Унаслідок цього зони n-області піднімуться, а р-області опустяться, і потенціальний бар'єр зміниться. Зміна потенціального бар'єру приведе до збільшення спроможності електронів переходити із n-області в р-область, у той час як потік електронів із £ в п не зміниться. Це призведе до порушення стану рівноваги електронних переходів і тому через р-n- контакт у напрямку від п до р (-») тече струм, тим більший, ніж більша величина прикладеної напруги (U). При

оберненій полярності бар'єр W не зміниться, а збільшиться і буде становити:

Унаслідок цього струм із п вр область зміниться, ар an =const.

Із вищесказаного видно, що р-n- перехід володіє односторонньою провідністю і є випрямлячем.

Маємо справу з транзистором, який використовується вже не в якості випрямляча, а в якості підсилювача сигналу.

Є два способи підключення транзистора у полі: загальною базою – підсилювач з напруги, а загальним емітором – підсилювач зі струму.

Приведемо приклад, коли р-n- перехід можна використати як джерело фото-ЕРС (вентильний фотоефект). Якщо один із кристалів р-n- переходу буде прозорим для світла і почати освітлювати цей контакт з частотою (v), яка буде задовольняти наступне співвідношення hv > ΔЕ, то в рі п-кристалах з'являються додаткові електрони у ЗП (зони провідності) й додаткові дірки в ЗВ (зоні валентності).

Тоді електрони й дірки із зони валентності (ЗВ) зможуть переходити
на п із потенціального бар'єру, що внаслідок освітлення виникне струм у
напрямку n-р через р-n перехід. р~ И

Вентильний фотоефект – перетворювач енергії світла в електричну енергію (сонячні батареї).

ЛЕКЦІЯ ХХIV

ТЕМА: АТОМНЕ ЯДРО

ПЛАН

1. Будова атомних ядер.

2. Дефект маси та енергія зв’язку.

3. Ядерні сили.

4. Феноменологічні моделі ядра.

5. Закон радіоактивного розпаду.

6. Ядерні реакції.

7. Реакція ядерного поділу. Ланцюгова реакція.

8. Термоядерні реакції; керовані термоядерні реакції.

1. Заряд ядра визначається числом позитивних зарядів (протонів), які знаходяться у ядрі. Оскільки атом у цілому електронейтральний (q_a=0), а заряд електронної оболонки = - Zе, де е – заряд електрона, а Z – кількість електронів, тоді заряд ядра дорівнює:

е = 1,6 ^. 10^-19 Кл,

Z – порядковий номер елемента у таблиці Менделєєва.

Оскільки маса електрона дуже мала: m = 9,1 ^. 10^-31 кг, то в ядерній фізиці вводять позасистемну одиницю для маси, яку називають атомна одиниця маси (АОМ).

1 АОМ = 1,66 ^. 10^-27 кг

За 1 АОМ приймають 1/12 маси ізотопу вуглецю С.

Ізотопи хімічних елементів – це ядра, які мають однаковий заряд, але різну масу, ізобари – навпаки. Введемо поняття масового числа А.

А – ціле число, найближче до маси атома, яке дорівнює кількості нуклонів (протонів, нейтронів) у ядрі.

Символічний запис позначення ядра

На основі експериментів із розсіюванню швидких нейтронів на ядрах різних хімічних елементів було проведене оцінювання розмірів ядра: r ~ 10^-15м. Густина ядерної речовини дуже велика і не йде ні в яке порівняння зі звичайними величинами: r ~ 10¹⁷ кг/м³. До складу ядра, як ми знаємо, входять протони, що визначають його позитивний заряд. А як же бути з масою речовини, яка залишилась (A-Z)?

Тоді, в свій час, було зроблено припущення про те, що до складу ядра входять електрони (протонно-електронна модель ядра). Однак ця модель з її висновками суперечила існуючим експериментальним фактам. У 1933 році англійський фізик Чєдвік установив, що при бомбардуванні ядер атомів різними частками виникає дуже проникливе випромінювання, яке складається з незаряджених часток. Так був видкритий нейтрон. А Іваненко і Гапон створили протонно-нейтронну модель ядра. Тоді N = A - Z.

N – кількість нейтронів у ядрі.

Тепер зрозуміло, що ізотопи відрізняються кількістю нейтронів.

Водень має три ізотопи:

(протій) – протон

(дейтерій) –дейтон

(тритій) – тритон.

2. Оскільки ядро – стійка структура, то між нуклонами ядра повинен існувати певний зв’язок.

Повна енергія зв’язку (DЕ_зв.) – фізична величина, що дорівнює роботі, яку потрібно виконати для розщеплення ядра на складові його нуклони.

Із цього визначення виходить, що ця величина повинна дорівнювати різниці між результуючою енергією вільних нуклонів та їх енергією у ядрі. Високоточні мас-спектрометричні дослідження показали, що маса ядра

m_я < åm_{нуклонів}.

Зменшення маси можна було пояснити тільки виділенням енергії зв’язку при утворенні ядра. Тобто

(2)

Dm – дефект маси ядра,

DЕ_зв. – енергія зв’язку нуклонів у ядрі,

c – швидкість світла у вакуумі, 3 ^. 10⁸ м/с.

Якщо ядро масою m_я має Z протонів; (A - Z) – нейтронів; m_p – маса протона; m_n – маса нейтрона.

(3)

Тоді із (2)

DЕ_зв. = Dmc² = c² [Zm_p + (A-Z)m_n - M_я] (4)

1 а.о.е. = с^{2 .} 1а.о.м. = 931,5 МеВ

DЕ_зв. (МеВ) = 931,5 ^. Dm (АОМ) (4а)

3. Виявилось, що за міцність атомних ядер відповідають ядерні сили, які мають такі властивості:

1) короткодіючі (r_o = 2,2 ^. 10^-15 м);

2) зарядова симетрія F_p-p = F_n-n;

(Сили взаємодії між протонами = силам взаємодії між нейтронами);

3) зарядова незалежність F_p-p = F_n-n = F_p-n;

4) нецентральний характер взаємодії часток, який зумовлений залежністю від орієнтації спинів.

Згідно із сучасним трактуванням, існування причин ядерних сил пов’язане з так званою обмінною взаємодією. Ії суть у тому, що активні взаємодії між нуклонами – це обмін нуклонів віртуальними мезонами. Цю гіпотезу вперше висловили Іваненко і Тамм. А японський фізик-теоретик Юкава (1952 р.) дав аналітичну формулу:

j® –потенціал Юкави,

r₀ – характерний розмір ядра,

g – стала,

r – змінна координата.

Короткодіючий характер пояснюється математично наявністю експоненти, а фізично – обмінною взаємодією.

4.

1. Крапельна модель (Френкель, Бор, 1936 р).

Для неї характерні:

а) малий радіус дії ядерних сил,

б) стала густина,

в) насиченість.

Але ядра, згідно з цією моделлю, звичайно не підлягали законам квантової механіки. Незважаючи на цілу низку недоліків, ця модель дозволила отримати емпіричну формулу для енергій зв’язку, за якого був установлений критерій стійкості ядер. Найбільш стабільні ті ядра при даному А і з даним Z, які відповідають найменшому значенню DЕ_зв.