Можна показати, що

ПЛАН

1. Електричний заряд, закон Кулона.

2. Напруженість електричного поля. Принцип суперпозиції.

3. Потік вектора напруженості. Теорема Гауса.

4. Робота сил електричного поля. Циркуляція вектора .

5. Потенціал. Зв’язок між та j.

6. Провідники в електричному полі.

7. Електроємність.

8. Енергія конденсатора, густина енергії електричного поля.

1.

Як відомо, в природі існують два види електричних зарядів:

а) позитивні “ +”,

б) негативні “ - ”.

Звичайно, однойменні заряди відштовхуються, а різнойменні притягуються. Найменшою за масою спокою частинкою, яка має негативний елементарний заряд, є електрон

е = 1,6 × 10^-19 Кл;

m_e=9.1 ×10^-31 кг

Електричний заряд тіл квантується, тобто приймає ряд дискретних значень (переривчастих).

q = ± ne (n = 1, 2, 3 …) (1)

Тіло приймає або віддає тільки величини зарядів, які кратні елементарному.

Експериментально було встановлено, що в ізольованій системі алгебраїчна сума зарядів зберігається

(2)

Алгебраїчна сума електричних зарядів тіл або частинок, які створюють електрично ізольовану систему, не змінюється при будь-яких процесах, які відбуваються в цій системі (фундаментальний закон природи).

Заряди взаємодіють. Закон цієї взаємодії був установлений у 1785 р. Кулоном: сила взаємодії двох точкових зарядів для однорідного, ізотропного та нескінченного середовища прямо пропорційна добутку величин цих зарядів і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.

F= k× (q₁ q₂ / r²), (3)

k- коефіцієнт пропорційності, який залежить від вибору системи одиниць та від властивостей середовища.

Електричні властивості середовища характеризуються діелектричною проникністю e, яка показує, у скільки разів сила взаємодії зарядів у вакуумі F₀ більша, ніж така ж сила F у середовищі на тій же відстані.

e = F₀ / F (4)

Тому для однорідного, ізотропного та нескінченного середовища закон Кулона має вигляд:

F= k× (q₁ q₂ / r²); (5)

Для вакууму e = 1; k = 9 ×10⁹ Н×м² / Кл²

k = 1/ 4pe0;

e0 - електрична стала e0 = 8,85 × 10-12 Ф / м

F = q₁q₂ /4pe₀r²

(5a)

.

2.

Оскільки заряджені тіла взаємодіють, то повинно існувати таке середовище, яке передає цю взаємодію.

Матеріальне середовище, оточуюче будь-яке нерухоме заряджене тіло, називається електростатичним полем.

Механізм взаємодії

Поля не взаємодіють, а заряджене тіло створює навколо себе поле, яке діє на інше заряджене тіло із силою F.

Для будь-якої точки поля можна ввести його силову характеристику - напруженість, яка чисельно дорівнює силі F, діючій з боку електричного поля на одиничний позитивний точковий заряд, унесений до цієї точки поля:

= / q (6)

З урахуванням (5) і (6) маємо:

E_A = q /4pe₀r²; (7)

- напруженість електростатичного поля, створеного у точці А точковим зарядом q.

[ Е ] = Н/Кл =В/м.

Якщо електростатичне поле буде створене не одним точковим зарядом, а системою таких зарядів, то напруженість результуючого поля буде дорівнюватиме геометричній сумі напруженостей, створених кожним зарядом окремо. Це є принцип суперпозиції.

. (8)

Формули (6), (7), (8) дають нам аналітичне зображення електростатичного поля. Існує також графічне зображення електричного поля за допомогою силових ліній.

Силова лінія – це уявна крива, у кожній точці якої вектор поля збігається за напрямком з дотичною.

Потоком (елементарними потоком) вектора напруженості через поверхню dS, проведену в полі, є величина, яка визначається скалярним добутком

d Ф_е = ( d )

Повний потік для будь-якої замкненої поверхні S:

Фе = (9)

Теорема Остроградського-Гауса стверджує: потік вектора eлектростатичного поля у вакуумі через будь-яку замкнену поверхню дорівнює алгебраїчній сумі електричних зарядів, які оточені цією поверхнею, та поділену на e₀.

(10)

Для середовища з проникністю e вираз (10) переходить у наступний:

(10a)

4.

Елементарна робота dA, яка виконується силою =q₀ при переміщенні заряду q₀ на відрізок d

dA=( d )=(q0 d ) =q0Edl ×cos a = q0 E dr   Робота, яку виконує електричне поле при переміщенні заряду q0 з точки 1 (r1) у точку 2 (r2)   або

A=(q₀q /4p e₀ e)(1/r₁- 1/r₂) (11)

З (11) видно, що робота не залежить від форми шляху, а залежить тільки від початкового та кінцевого положеня точок. Висновок: сили електростатичного поля консервативні, а саме поле потенціальне.

dA = q₀ ( d );

(, d ) - циркуляція вектора по замкненому контуру L.

A = q₀ (,d );

Із формули (11) видно, що робота електричного поля по замкненому контуру (r₁= r₂ ) дорівнює нулю. Таким чином, із визначення циркуляції виходить, що вона дорівнює нулю.

Якщо циркуляція вектора будь-якого силового поля дорівнює 0, то як наслідок силові лінії такого поля не замкнені.

5.

Із розділу механіки відомо, що робота консервативних сил виконується за рахунок змін потенціальної енергії;

A = - DW_n = - (W_n⁽²⁾ - W_n⁽¹⁾) = W_n⁽¹⁾ - W_n⁽²⁾ (12)

W_n – потенціальна енергія заряду.

W_n⁽²⁾ – потенціальна енергія заряду в точці 2.

W_n⁽¹⁾ – потенціальна енергія заряду в точці 1.

Із рівняння (12) і (11)

W_n = qq₀ /(4p e₀ e r) + c;

c = 0 (r ® )

W_n = qq₀ /(4p e₀ e r); (13)

Потенціалом j даної точки поля називається відношення потенціальної енергії W_n заряду q₀ у даній точці до величини цього заряду.

j = W_n / q₀; (14)

Із (14) видно, що потенціал — це енергетична характеристика даної точки поля. Знайдемо зв’язок між та j. Для цього перемістимо заряд q₀ між двома близькими точками простору.

dA = q₀ E dl; dA = - d W_n;

dA = - q₀ dj; q₀Edl = - q₀ dj;

E_l = - (dj /dl); = - (dj /dl) ; (15)

= - (dj /dl) ; = - j = - grad j;

Напруженість поля в даній точці дорівнює градієнтові потенціалу, взятому з протилежним знаком.

Будь-яка точка електричного поля характеризується як векторною, так і скалярною величинами ( та j), між якими існує певний зв’язок.

6. Якщо помістити провідник у зовнішнє електричне поле, то вільні заряди (наприклад- d електрони у металі) перерозподіляться такими чином, що напруженість електричного поля у середині провідника буде дорівнювати нулю.

_рез = 0; Е = - (dj /dl);

Е = 0; (dj /dl) = 0; j = const,

як у середині провідника, так і на його поверхні, тобто весь об’єм провідника, можна вважати еквіпотенціальним, а напруженість електричного поля біля поверхні завжди буде спрямована по нормалі до поверхні у даній точці.

Якщо надати провіднику додатковий електричний заряд, то нескомпенсовані заряди розмістяться тільки на поверхні провідника.

Ця властивість застосовується для електростатичного екранування від зовнішніх електричних полів.

Можна показати, що напруженість електростатичного поля поблизу поверхні провідника прямо пропорційна поверхневій густині заряду s:

s = q / S; Е_n = s / e₀ e; (16)

7.

Як показує досвід, при нанесенні на відокремлений провідник заряду для однакових провідників зі зростанням величини заряду q буде зростати і потенціал цього провідника j. Тому для відокремленого провідника:

j = (1/С) q; (17)

де С – ємність відокремленого провідника

С = q / j; (18)

[ C ] = Кл / В = Ф.

Ємність залежить від геометричної будови провідника (його форми та лінійних розмірів) ті діелектричної проникності середовища, в якому він знаходиться.

Для сфери: С = 4p e₀ e R, де R – радіус сфери.

Конденсатор – це система, що являє собою два провідники, які розділені шаром діелектрика.

С = e₀ e S / d; (19)

ємність плоского конденсатора.

e₀ – електрична стала;

e – діелектрична проникність;

S – площина однієї з пластин плоского конденсатора;

d – відстань між пластинами;

Паралельне з”єднання конденсаторів:

С_рез = С₁ + С₂;

n

С_рез =å С_i;

i = 1

Послідовне з”єднання:

C₁ C₂ 1/C_рез = 1/С₁ + 1/С₂ ;

n

1/С_рез =å 1/С_i ;

i = 1

8.

Енергія конденсатора

Надання провіднику електричного заряду пов’язане з виконанням роботи. Ця робота йде на збільшення електричної енергії зарядженого провідника.

dA = (j 1 - j 2) dq; j 2 = 0; r ® dA = j dq = (q/C) dq; dA = dW; (формула (11) і (12))

dW = ;

енергія відокремленого провідника:

W = q²/ 2C; (20)

W = Cj²/ 2; (20a)

Енергія конденсатора

W = CU²/ 2, де U = Dj – різниця потенціалів

між обкладками конденсатора.

W =(e₀eS / 2d) U² - енергія електричного поля

в середині конденсатора

Поле в середині конденсатора є однорідним ( = const) – напруженість не змінюється ні за напрямком, ні за величиною.

E = U/d;

W = (e₀eS / 2d)E²d² = (e₀eE² / 2) S×d;

S × d = V;

- об’єм діелектрикаміж пластинами конденсатора.

w = W / V;

- об’ємна густина електричного поля.

w = e₀eE² / 2; (21)

Електричне поле у середині конденсатора ми описали таким чином. Можна довести, що й електричне поле взагалі можна описати також формулами (20,20а), а об’ємну густину електричного поля формулою (21).

ЛЕКЦІЯ ХII

ТЕМА: ПОСТІЙНИЙ СТРУМ

ПЛАН

1. Умови існування струму і його характеристики.

2. Cторонні сили. Закони постійного струму.

3. Опір, залежність опору металів від температури.

4.Елементи класичної електронної теорії електропровідності металів. Закони Ома та Джоуля - Ленца в диференціальній формі.

5. Правила Кірхгофа.

1.

Електричний струм – це впорядкований направлений рух електричних зарядів. Вирізняють струм провідності. Він зумовлений рухом вільних зарядів. Конвекційний струм виникає при русі заряджених макроскопічних тіл.

До умов виникнення струму слід віднести:

1) присутність вільних електричних зарядів;

2) присутність електричного поля.

Кількісна міра електричного струму – сила струму І.

І = dq / dt; (1)

Сила струму чисельно дорівнює заряду, що проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу. Струм називається постійним, якщо його величина та напрям із часом не змінюються.

І = q / t; (1a)

[ І ] =A = Kл / с; А (Ампер)- основна одиниця Si.

Фізична величина, яка визначається силою струму, що приходить через одиницю площі поперечного перерізу провідника, розташованого перпендикулярно до напрямку руху електричних зарядів, має назву густини електричного струму.

j = dІ / dS; [ j ] = A /м²;

.

У випадку постійного струму I = j S.

Можна показати, що

j = q n_o ,

де q – заряд, n_o – концентрація, v – швидкість дрейфу носіїв струму

j₁ Q Å j₂ > j₁

Якщо з’єднати два однорідних провідники, заряджених до потенціалів j₁ та j₂, то від 2 до 1 потече струм.

Цей процес буде відбуватися до тих пір, поки не зрівняються заряди, відповідно потенціали 1 і 2 та Dj_1,2 не стане дорівнювати нулю й струм припиниться.

Для того, щоб підтримати у колі постійною різницю потенціалів (Dj = const), необхідна у колі наявність пристрою, в середині якого відбувався б процес перерозподілу електричних зарядів та їх перенесення до відповідного провідника.

Цей пристрій має назву джерело струму. Воно здійснює роботу з переміщення зарядів силами неелектричного походження. Ці сили називаються сторонніми сили (акумулятор – хімічна енергія; генератор – механічна енергія.)

Фізична величина, яка дорівнює роботі сторонніх сил і переміщення одиничного позитивного заряду, має назву електрорушійної сили (ЕРС)

e = А_стор / q; (2)

= +

Загальна робота із переміщення заряду:

А = А_кл + А_стор

A / q = A_кл / q + A_стор / q; A_стор / q = e;

A_кл / q = j₁ - j₂ – це різниця потенціалів двох точок поля;

A / q = U_1,2 – напруга між двома точками поля.

Напруга – це величина, яка дорівнює роботі кулонівських та сторонніх сил із перенесення одиниці заряду між двома будь- якими точками поля.

U₁₂ = (j₁ - j₂) + e. (3)

Для ділянки кола німецький фізик Ом установив:

І = U / R;

(3а)

де – R опір провідника

Порівнявши (3) і (3а), маємо:

J = (j₁ - j₂) + e / R. (4)

(3а) – це закон Ома для ділянки кола в інтегральній формі.

(4) – узагальнений закон Ома для ділянки кола з ЕРС.

3.

Чим визначається опір провідника і від чого він залежить?

1) Опір провідника залежить від його геометрії

R = r × (L / S);

деr -питомий опір

S

Причина виникнення опору в металевому провіднику – зіткнення електронів із вузлами кристалічної решітки.

r = rо (1+ a t);	rо – питомий опір провідника при температурі 0°С
R = Rо (1+ a t);

a – температурний коефіцієнт опору. Це характеристика матеріалу, яка залежить тільки від фізико-хімічних властивостей матеріалу провідника.

r     4,2°K T

Різке зменшення опору металів при низьких температурах дістало назву надпровідності. Воно було відкрито у 1908 р. голландським фізиком Камерлінг-Онессом. Пояснення цього явища дано американським ученим у рамках теорії БКШ в 1954р. і полягає в тому, що при температурах 4,2°К і менше електрони об’єднуються у пари й рухаються по металу не поодинці, а парами (куперівські пари).

4.

Основи класичної теорії електропровідності були закладені у 1900 р. ученим Друде і були розвинені в роботах Лоренца. В основу цієї теорії були покладені уявлення про те, що електрони у металах за своїми фізичними властивостями подібні ідеальному, одноатомному газу і тому відпорядковуються його законам. З цієї теорії виходить, що густина електричного струму:

j = n e V_сер ; (5)

де n - концентрація електронів е - елементарний заряд; Vсер - швидкість упорядкованого руху електронів;

n = N / V; де N - кількість електронів; V - о’бєм;

е = 1,6 × 10^-19 Кл

Якщо скористуватися другим законом Ньютона

ma = F; то враховуючи F = eE; a = v / t, отримаємо:

j = (e²nt / 2m) Е;

s= e²nt/2m -коефіцієнт електропровідності;

s= 1/ r -питома електропровідність;

j = s . (6)

Закон Ома у диференціальній формі (6)

Густина струму в даній точці поля прямо пропорційна напруженості в даній точці поля.

Експериментально був установлений закон Джоуля -Ленца, згідно з яким кількість теплоти, що виділяється при проходженні струму через нерухомий провідник, прямо пропорційна квадрату сили струму, опору провідника та часу проходження струму.

Q = І² R t; (7)

Закон Джоуля - Ленца в інтегральній формі:

Q = (U² / R) × t. (7а)

Застосовуючи теорію Друде -Лоренца, можна одержати закон Джоуля- Ленца у диференціальній форми:

w = sE²; ; (8)

w - густина теплової потужності струму.

w = Q / V × t - теплота, що виділяється в одиниці об’єму за одиницю часу.

5.

На практиці виникає потреба в розрахунку розгалужених ланцюгів, за допомогою двох правил Кірхгофа.

Вузол - це будь-яка точка розгалуженого ланцюга, в якій сходиться не менше від трьох провідників.

Алгебраїчна сила струмів, які сходяться у вузлі, дорівнює нулю.

n

å І_i = 0; (9)

i = 1

У будь-якому замкненому ланцюгу алгебраїчна сума добутків I × R дорівнює алгебраїчній сумі всіх ЕРС цього ланцюга.

N n

å І_i R_i = å e_i; (10)

i = 1 i = 1

ЛЕКЦІЯ ХШ

ТЕМА: ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ДІЕЛЕКТРИКАХ

план

1. Полярні та неполярні діелектрики. Електричний диполь.

2. Вектор поляризації. Електричне поле у середині діелектрика.

3. Теорема Гауса для діелектриків. Густина енергії електростатичного поля.

1.

За електричними властивостями всі тіла умовно можна розділити на провідники, діелектрики та напівпровідники. Взагалі пояснення цієї різниці має зміст тільки з урахуванням квантових особливостей на основі зонної теорії твердих тіл. Однак на якісному рівні цю різницю можна ще пояснити на основі різної рухомості електричних зарядів.

У провідниках існують вільні заряди, які здатні переміщуватися у межах речовини, наприклад, вільні електрони у металах.

У діелектриків вільних зарядів немає. В них існують зв’язані заряди, які розташовані у вузлах кристалічної решітки. Однак молекули володіють електричними властивостями, й, у першому наближенні молекулу можна розглядати як електричний диполь.

Електричний диполь - це система, яка складається з двох однакових зарядів протилежного знаку, які знаходяться на малій відстані.

· ·

Електричний момент диполя дорівнює добутку величини зарядів на плече диполя .

(1)

Діелектрики підрозділяються на полярні та неполярні. Неполярні молекули (H_2, O₂, N₂...) мають симетричну будову, а центри тяжіння Å зарядів та Θ зарядів збігаються внаслідок симетричності електронних орбіт. Тому для них електричний момент дорівнює нулю у відсутності зовнішнього електричного поля.

( = 0).

У полярних діелектриках молекули (CO₂, SO₃, NH₃,...) мають асиметричну будову. Тому для них _ел. ¹ 0. Однак унаслідок теплового руху весь об’єм

діелектрика має результуючий електричний момент, рівний нулю.

å _ел = 0 при = 0,

При розміщенні будь-якого діелектрика у зовнішньому електричному полі весь об”єм діелектрика дістає результуючий електричний момент, не рівний нулю _ел. ¹ 0 (він поляризується).

Це явище зветься поляризацією діелектрика.

У неполярних діелектриках - поляризація деформаційна, оскільки вона пов’язана з деформацією електронних орбіт. У полярних діелектриках вона орієнтаційна, бо пов’язана з орієнтацією діполей усього об’єму діелектрика у зовнішньому електричному полі.

2.

Для кількісної характеристики явища поляризації вводиться векторна величина - вектор поляризації .

n = å i / V i=1

(2)

де V - об’єм усього діелектрика,

а _i - електричний дипольний момент i -тої молекули

Фізичний зміст - дипольний момент одиниці об’єму діелектрика.

Експериментально було встановлено, що в малих електричних полях для однорідних ізотропних діелектриків існує така залежність:

= e0 À о,

(3)

де _о - напруженість зовнішнього поля;

À - діелектрична сприйнятливість.

Помістимо діелектрик у зовнішнє електричне поле:

E0 + -   +s -s   E	При внесенні діелектрика у зовнішнє електричне поле 0 він поляризується, що приводить до появи власного електричного поля , створеного зв’язаними зарядами, внаслідок чого результуюче поле в середині діелектрика тепер змінюється і буде становити:
= 0 - ;	(4)

Можна показати, що поверхнева густина зв’язаних зарядів дорівнює Р_n

s = P_n; E = s / e₀

Вектор = e₀ + називається електричним зміщенням (електричною індукцією). = e₀ + e₀ = e₀e , де e = 1 + À

e = F₀ / F = E₀ / E

Фізичний зміст e - характеристикавластивості діелектрика поляризуватися у зовнішньому електричному полі.

e₁

e₂

На межі поділу двох діелектриків із різними e дві складові (нормальна та тангенційна) вектора поводять себе по-різному. _t не змінюється, а _n робить стрибок унаслідок виникнення зв’язаних зарядів s.

( _t1= _t2; _n1 ¹ _n2 )

Тому для зручності у розрахунку електричних полів уводять вектор D - вектор електростатичної індукції, нормальна складова якої не змінюється при переході від середовища з e₁ до середовища зe₂ (D_n1 = D_n2).

= e₀ e Е; (6)

у вакуумі e = 1,

якщо у середовищі, то = e₀(1+À) = e₀ + e₀À ;

= e₀ + ; (7)

у вакуумі = 0.

Це основне рівняння електростатики діелектриків.

Із (7) видно, що не залежить від e, тому він зумовлений тільки вільними зарядами.

- зумовлений як вільними, так і зв’язаними зарядами.

3.

Для електричного поля у вакуумі теорема Гауса мала вигляд

= 1/e₀ ,

а для середовища

= 1 / ee₀ -вільні і зв’язані заряди

Тому аналогічно для поля в діелектрику маємо:

для вільних зарядів:

= 1 / ee₀ ; (8)

потік через замкнену поверхню дорівнює сумі всіх вільних зарядів.

w = e₀ e E² / 2; = e₀ e Е;

Об”ємна густина енергії електричного поля:

w = Е / 2 (9)

ЛЕКЦІЯ Х IV

ТЕМА: МАГНІТНЕ ПОЛЕ

ПЛАН

1. Магнітне поле. Сила Ампера.

2. Сила Лоренца.

3. Закон Біо-Савара-Лапласа. Принцип суперпозиції. Приклади розрахунків полів.

4. Рамка зі струмом у магнітному полі.

5. Закон повного струму.

6. Магнітний потік. Теорема Гауса.

7. Робота з переміщення провідника зі струмом у магнітному полі.

1.

За відсутності струму провідники не взаємодіють. При пропусканні струму в однаковому напрямку вони будуть притягуватися. Тобто ми спостерігаємо факт взаємодії провідників унаслідок протікання через них струму. Оскільки цю взаємодію ми спостерігаємо об’єктивно, то повинно існувати таке матеріальне середовище, яке буде передавати цю взаємодію. Це матеріальне середовище має назву - магнітне поле.

Магнітне поле - це матеріальне середовище, яке оточує провідник зі струмом та рухомі електричні заряди.

Головна характеристика магнітного поля - вектор магнітної індукції .

Його напрямок збігається з силою, яка діє на відповідний полюс магнітної стрілки, що поміщена в цю точку поля.

Опис магнітного поля за допомогою вектора - це аналітичний підхід.

Окрім цього, існує графічний засіб описання - за допомогою силових ліній.

Силова лінія - це така уявна лінія, у кожній точці якої збігається з вектором дотичної.