Матрица отражения

Композиция – последовательность отдельных видов преобразований. Композиция преобразований представляется произведением матриц. Композиция позволяет применить одно результирующее преобразование вместо нескольких исходных.

Например. Построить матрицу вращения на угол φ вокруг прямой L,проходящей через точку А(a,b,c) им имеющую направляющий вектор (l,m,n). Считается, что направляющий вектор прямой является единичным (l²+m²+n²=1).

В подобного рода примерах в результате матрицы имеют вид:

Решение задачи разбиваем на несколько шагов.

1. Перенос на вектор –А(-a,-b,-c) при помощи матрицы

В результате этого переноса прямая L проходит через начало координат.

2. Совмещение оси аппликат с прямой L двумя поворотами вокруг оси абсцисс и оси ординат. Первый поворот – вокруг оси абсцисс на угол ψ (угол надо определить). Чтобы найти угол рассмотрим ортогональную проекцию L’ исходной прямой L на плоскость Х=0.

Направляющий вектор прямой L’ равен (0, m, n). Отсюда вытекает, что cosψ=n/d, sinψ=m/d, где . Соответствующая матрица вращения:

Под действием преобразований координаты вектора (ℓ,m,n) изменяется. В результате: (ℓ,m,n,1)[Rx]=(ℓ,0,d,1). Второй поворот – вокруг оси ординат на угол θ.

cosθ=ℓ, sinθ= -d.

3. Вращение вокруг прямой L на заданный угол φ.

4. Поворот вокруг оси ординат на угол –θ.

5. Поворот вокруг оси абсцисс на угол –ψ.

6. Перенос на вектор А(a,b,c). Перемножив найденные матрицы в порядке их построения, получим результирующую матрицу.

В подобного рода примерах в результате матрицы имеют вид: