Проекции . Центральное и перспективное проецирование. Основные виды проекций

Проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n, в точки систем координат размерностью меньше чем n. Проекции трехмерного объекта, представленного совокупностью точек, стоятся при помощи прямых (проецирующих прямых), которые выходят из центра проекции, проходят через каждую точку объекта и пересекая картинную плоскость (плоскость проецирования) образуют проекции. Такой класс проекций называется геометрическими проекциями. В зависимости от соотношения центра проекции и проекционной плоскости рассматривают параллельные и центральные проекции. В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра собственного пучка. При п араллельном проецировании – центр (несобственного) пучка считается лежащим в ∞. При параллельной проекции указывается направление проецирования, а при центральной проекции явно заводится центр проекции. В этом случае все прямые исходят из центра собственного пучка.

При центральной проекции возникает эффект перспективного укорачивания – размер проекции объекта изменяется обратно пропорционально расстоянию от центра проекции до объекта.

Параллельная проекция порождает менее реалистичное изображение, при этом фиксируются истинные размеры объекта с точностью до множества. Углы сохраняются на гранях объекта параллельно проекционной плоскости.

Для описания проекций используют матрицы четвертого порядка и однородные координаты.

Параллельное проецирование. Делится на подклассы.

Ортографическая проекция – картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей.

Матрица проецирования вдоль оси Х на плоскость YZ:

Если плоскость проецирования параллельна координатной плоскости, то матрицу [Px] необходимо умножить на матрицу сдвига.

Аксонометрическая проекция – проектирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. В соответствии со взаимным расположением плоскости проектирования и координатных осей три вида проекции:

1.изометрия – все 3 угла между нормалью к картинной плоскости и координатными осями равны.

2.диметрия – 2 угла между нормалью к картинной плоскости и координатными осями равны.

3.триметрия – нормаль к картинной плоскости образует с координатными осями попарно различные углы.

Каждый из трех видов проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проецирование. При повороте на угол ψ относительно оси ординат, на угол φ относительно оси абсцисс и проектирования вдоль оси аппликат возникает матрица

При этом единичные вектора координатных осей преобразуются следующим образом.

Координатные вектор оси х: [1 0 0 1] M=[cosψ sinφsinψ 0 1],

оси y: [ 0 1 0 1] M=[0 cosφ 0 1],

оси z: [ 0 0 1 1] M=[sinψ -sinφcosψ 0 1].

Диметрия характеризуется тем, что длины двух проекций совпадают:

cos²ψ +sin²φsin²ψ=cos²φ, следовательно sin²ψ =tan²φ

В случае изометрии cos²ψ +sin²φsin²ψ=cos²φ и sin²ψ +sin²φcos²ψ=cos²φ, следовательно sin²φ=1/3, sin²ψ=1/2

При триметрии длины проекций попарно различны.

Косоугольная проекции – проекции, для получения которых используется пучок прямых, не перпендикулярных плоскости экрана. Применение этой проекции приводит к сдвигу и последующему проецированию объекта. При этом плоскости с постоянной координатой z=z1 переносятся в направлении х на величину (z1•ℓ•cosα) и в направлении y на величину (z1•ℓ•sinα) и затем проецируется на плоскость z=0.

Имеется 2 вида косоугольных проекций: свободная (угол наклона проектирующих прямых к плоскости экрана равен половине прямого угла), кабинетная (масштаб по третей оси вдвое меньше).

Перспективное (центральное) проецирование.

1.
Рассмотрим ситуацию. Картинная плоскость перпендикулярна оси Z и совпадает с плоскостью Z=d, центр проекции находится в начале координат(х –вправо, y –вверх, т.е. левосторонняя система координат).

xp/d=x/z; yp/d=y/z; xp=xd/z; yp=yd/z, где d-масштабный множитель, z-любой, кроме z=0

2. Плоскость z=0- картинная. Центр проекции располагается в точке z=-d. Аналогичные треугольники, что и в 1 случае.

xp=dx/(z+d)=x/(z/d+1); yp=dy/(z+d)=y/(z/d+1); Исходя из 1 случая, можно получит матрицу для 2 случая.

Линии, которые были параллельны оси Z будут проходить через конечную точку- это точка схода. Точка схода находится на той же оси, что и центр проекции в точке с координатами z=d. При некоторых расположениях объекта линии, параллельные оси y и оси х также будут пересекаться. Точки пересечения будут лежать выше или ниже горизонта – это точки следа. Если имеется несколько точек схода, то перспективный проект называется многоточечным. Было бы ошибочным применять матрицу 2-х и 3-х точечной проекции в случае, если взаимное расположение центра проекции и проекционной плоскости, которая описана в этом разделе. Если перед центральным проецированием выполнить 1 или 2 поворота и перенос объекта, то результирующая матрица, полученная в результате аффинного преобразования и перспективной проекции будет соответствовать матрице 2-х и 3-х точечной проекции. Такая матрица имеет соответственно 2 или 3 ненулевых элемента в 1-х и 3-х строках и последнем столбце.