Глава 2. Определим валовой сбор зерна в 2007 г

Решение задачи 2.1.

Определим валовой сбор зерна в 2007 г. с помощью аналитической экстраполяции динамического ряда.

Прогнозирование на основе экстраполяции тренда включает ряд последовательных этапов:

1. Анализ и обработка исходной информации, проверка ряда дина­мики на наличие тренда.

2. Выбор вида функции, описывающей временной ряд.

3. Определение параметров прогнозной функции.

4. Расчет точечных и интервальных прогнозов.

Прежде чем подбирать тренд динамического ряда, статистически проверим гипотезу о его существовании. Есть несколько подходов к ре­шению этой задачи: проверка разности средних, использование пово­ротных точек, корреляция рангов, применение критерия Кокса и Стю­арта, Валлиса и Мура, метод серий и др.

Так как распределение величин нормальное, воспользуемся мето­дом Фостера-Стюарта [21], дающим наиболее надежный практический результат. Он более чувствителен к выявлению тренда, чём классиче­ская проверка гипотезы о случайном характере расхождения средних.

По исследуемому динамическому ряду валового сбора зерна с 1955—2006 гг. (табл.1) последовательным сравнением уровней опреде-

Ответы на тренировочные задания

Ответы на тренировочные задания

лим характеристики S (для обнаружения тенденций в изменении дис­персии) и d(для обнаружения тенденций в средней):

где и и I — вспомогательные переменные,

у — фактические значения ряда динамики.

В рассматриваемом случае S= 13, d = 7. Показатели S и dасимпто­тически нормальны и имеют независимые распределения. Они сущест­венно зависят от порядка расположения уровней во времени. С учетом их фактических значений, применяя t-критерий Стьюдента, проверяет­ся гипотеза о том, можно ли считать случайными разности d — 0 и S — ц, т. е.:

где ц — математическое ожидание величины S, определенное для слу­чайного расположения уровней во времени; 5; — средняя квадратическая ошибка величины d; 5) — средняя квадратическая ошибка величины S.

Необходимые для получения t-критерия показатели ц, &> 6] табули­рованы, например, в [4] и при числе уровней ряда, равном 50, составля­ют: = 6,99; =2,12; = 2,64. Проверка dдает t1= 2,65, при проверке S получаем t ₂ = 2,83. Поскольку оба результата выше табличного значе­ния t _а = 2,42 критерия Стьюдента при уровне значимости а = 0,01, ги­потеза о существовании тренда подтверждается, и можно прогнозиро­вать валовой сбор зерна на ближайшие 3—5 лет методом экстраполяции тренда.

Выделение тренда может быть произведено тремя методами: сколь­зящей средней, укрупнения интервала или аналитического выравнива­ния. Под аналитическим выравниванием, которым мы и воспользова­лись, подразумевается определение основной проявляющейся во вре­мени тенденцией развития изучаемого явления. Для этого находят некую функцию от времени f(t), которая наилучшим образом соответст­вует общей тенденции и дает содержательное объяснение рассматри­ваемому процессу. Выбор вида функции является достаточно сложным процессом и обычно несет в себе большую долю субъективизма.

Использование пакетов прикладных программ, например Statistic а, МS ЕХЕL и др., позволяет проводить многовариантные расчеты по эле­ментарным и комбинированным аппроксимирующим функциям и выби­рать наиболее адекватную из них. Выбранная прогнозная эмпирическая функция, описывающая динамический ряд, должна отвечать необходи-

мым и достаточным условиям. Эта аппроксимирующая функция должна минимизировать стандартное отклонение S на интервале оценивания, обеспечивать тесноту связи (по коэффициенту корреляции); аппроксими­рующее уравнение должно быть адекватно фактической временной тен­денции валового сбора (по F-критерию) и устранять автокорреляцию.

Рис. 1. Прогноз валового сбора на основе линейного тренда

Рис. 2. Прогноз валового сбора на основе полиномиального (2-й степени) тренда

Динамика валового сбора довольно сложна и циклична в зависи­мости от периода развития сельскохозяйственного производства, уров­ня НТП, изменения природно-климатическим условий в соответствии 5-летним циклом колебания урожайности и 11-летним циклом сол­нечной активности и др. факторов. Поэтому для аппроксимации дина­мического ряда валового сбора, кроме линейных и параболических за­висимостей, применены и некоторые виды комбинированных функ­ций. Параметры уравнений трендов рассчитаны методом наименьших квадратов (см. рис. 1—6):

Ответы на тренировочные задания

Рис. 3. Прогноз валового сбора на основе логарифмического тренда

Рис. 5. Прогноз валового сбора на основе комбинированной функции

Рис. 4. Прогноз валового сбора на основе комбинированной функции

у — значение рада динамики, I — время;

г — множественный коэффициент корреляции;

/г — коэффициент детерминации, характеризующий долю дисперсии

результативного признака у, объясняемую трендом, в общей дисперсии

результативного признака

Рис. 6. Прогноз валового сбора на основе комбинированной функции

Для обоснованности прогноза методом трендовой экстраполяции были рассмотрены характеристики полученных аналитических вырав­нивающих функций (см. табл. на с. 398).

Ответы на тренировочные задания

Ответы на тренировочные задания

Характеристики выравнивающих функций для динамического ряда валового сбора зерновых

Обозначение функции	Вид аппроксимирующей функции	Прогнозируемый на 2007 г. валовой сбор (г = 50)	Стандартное отклонение	Коэффициент корреляции		Коэффициент автокорреляции ряда
а			450,2	0,52	1,15	0,13
б			369,1	0,76	4,13	2,45
в			410,9	0,78	1,92	1,18
г			460,1	0,64	3,13	2,17
д			278,2	0,92	5,56	1,97
е			212,5	0,87	3,89	1,63
ж			301,2	0,84	4,12	1,91

Как показывают данные табл. 2, не все из выравнивающих функ­ций можно использовать для прогнозирования. При оценке надеж­ности уравнения регрессии фактический уровень критерия Фишера (Рф_ак) для функций а, в, г меньше его теоретического значения (Р_теор). Р_теор = 3,15 — 3,23 при уровне значимости 0,05. Это свидетельствует о том, что построенные уравнения неадекватно отражают сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию. В остальных функциях факти­ческое значение /'-критерия больше табличного, т. е. каждая из связей считается значимой. Анализ коэффициента корреляции позволяет ут­верждать, что связь между аппроксимирующими аналитическими функциями а и г и фактическими данными слабая (коэффициент мень­ше 0,7). Близость полученных коэффициентов детерминации (квадрата коэффициента корреляции) к единице свидетельствует о наличие тес­ной связи (уравнения д, е, ж). Проверка на наличие автокорреляции за­висимости последующих уровней ряда от предыдущих осуществлялась по критерию Дарбина-Уотсона. Если этот критерий равен 0, имеется полная положительная автокорреляция, 2 — автокорреляция отсутству­ет, 4 — полная отрицательная автокорреляция. В соответствии с этим критерием незначительная положительная автокорреляция, которую можно не исключать из взаимосвязи, присутствует в функциях б, г, д, ж.

Функции айв без исключения автокорреляции применять для прогно­зирования невозможно.

Таким образом, функции б, д, е, ж хорошо выравнивают исходный динамический ряд и их можно применять для прогнозирования валового сбора зерна в области. Из перечисленных функций минимальное стан­дартное отклонение имеет функция

Прогнозное значение валового сбора зерна на 2007 г. составляет 1312 тыс. т. Ошибка прогноза рассчитана по формуле и

составляет 4,24%, где

^Факт — фактическое значение валового сбора, У_прогн — прогнозное значение.

Полученная ошибка прогноза свидетельствует о высокой точности использованного метода прогнозирования.