Додаток Ж

Методика розрахунку параметрів трендових моделей і обґрунтування їх вибору.

Методика розрахунку параметрів двох рівнянь тренда приведена на основі одних і тих же вихідних даних. _

При використанні прямолінійного тренду у_t = а₀ + а₁t параметри а_{0 і} а₁ можуть бути знайдені шляхом рішення системи нормальних рівнянь:

nа₀ + а₁∑t = ∑y;

а₀∑t + а₁∑t² = ∑yt

або за допомогою формул:

∑y∑t² - ∑yt∑t

а_{0 =} ;

n∑t² - ∑t∑t

n∑yt - ∑y∑t

а_{1 =}

n∑t² - ∑t∑t

Визначимо кількісне значення параметрів:

Виходячи з розрахункових даних рівняння прямолінійного тренду має наступний вид:

у_t = 16,23 + 3,11t

Підставляючи відповідні даному року значення t визначаємо розрахункове значення .

Для 1-го року ₁ =16, 23 + 3,11х1 = 19,34ц/га;

Для 2-го року ₂ = 16,23 + 3,11х2 = 22,45ц/га;

Для 3-го року ₃ = 16,23 + 3,11х3 =25,56ц/га і т. д.

Для визначення параметрів параболічного тренду:

_t = а₀ + а₁t + а₂t²

складаємо систему нормальних рівнянь:

nа₀ + а₁∑t + а₂∑t² = ∑y;

а₀∑t + а₁∑t² + а₂∑t³ = ∑yt

а₀∑t² + а₁∑t³ + а₂∑t⁴ = ∑yt²

Підставимо розрахункові елементи у систему нормальних рівнянь:

5а₀ + 15а₁ + 55а₂ = 127,8

15а₀ +55а₁ + 225а₂ = 414,5

55а₀ + 225а₁ + 979а₂ = 1568,9

Ділимо усі коефіцієнти в рівняннях на відповідні коефіцієнти при а₀:

а₀ + 3а₁ + 11а₂ = 25,56

а₀ + 3,67а₁ + 15а₂ = 27,63

а₀ + 4,09а₁ + 17,8а₂ = 28,53

Відраховуючи із 2-го рівняння перше, а із 3-го – друге, отримуємо два рівняння з двома невідомими:

0, 67а₁ + 4а₂ = 2,07

0,42а₁ + 2,8а₂ = 0,9

Ділимо кожен коефіцієнт цих рівнянь на відповідні коефіцієнти при а₁ і вичитаємо із другого рівняння – перше:

а₁ + 5,97а₂ = 3,09

а₁ + 6,67а₂ = 2,14

--------------------------

0,7а₂ = - 0,95

виходячи з цього а₂ = - 1,36

Методом підстановки розрахуємо параметри а₀ і а₁:

а₁ + 5,97х(-1,36) = 3,09

а₁ = 3,09 + 8,1192

а₁ = 11,21

------------------------------------------

а₀ + 3х11,21 + 11х(-1,36) = 25,56

а₀ = 25,56 – 33,63 + 14,96 = 6,89

Виходячи з визначених параметрів рівняння параболічного тренду має наступний вид:

_t = 6,89 + 11,21t – 1,36t²

Підставляючи в отримане рівняння відповідне значення t, визначаємо розрахункові значення показника для відповідних років:

₁ = 6,89 + 11,21х1 – 1,36х1 = 16,74ц/га;

₂ = 6,89 + 11,21х2 – 1,36х4 = 23,87ц/га і т. д.

Розрахункові значення показників наведені у таблиці 1. Близькість розрахункової і фактичної суми у (відповідно 127,8 і 127,8) є критерієм вірності проведених розрахунків.

Таблиця 1.

Матеріали до розрахунку рівняння тренду урожайності озимої пшениці

Вихідні дані	Елементи для розрахунку параметрів
t = а0 + а1t	t = а0 + а1t +а2t2
Роки (n)	Урожайність, ц/га - (y)	t	t2	yt	Розрах. значен t	t	t2	t3	t4	yt	yt2	Розрах. значен. t
	15,7			15,7	19,34					15,7	15,7	16,74
	21,6			43,2	22,45					43,2	86,4	23,87
	38,2			114,6	25,56					114,6	343,8	28,28
	20,5			82,0	28,67					82,0	328,0	29,97
	31,8			159,0	31,78					159,0	795,0	28,94
∑	127,8			414,5	127,8					414,5	1568,9	127,8

Для обґрунтування вибору рівняння тренду визначимо квадрати відхилень фактичних і розрахункових рівнянь (див. таблицю 2.). Порівняльний аналіз отриманих даних показує, що для динамічного моделювання урожайності більш обгрунтованним є рівняння параболічного тренду, тому що сума квадратів відхилень розрахункових значень від фактичних мінімальна (205,0583).

Таблиця 2.

Варіантні розрахунки відхилень ( _t – y)² по рівнянням тренду