Критерий Гурвица

Математические модели исследуемых явлений или процессов могут быть заданы в виде таблиц, элементами которых являются значения частных критериев эффективности функционирования системы, вычисленные для каждой из сравниваемых стратегий при строго заданных внешних условиях. Для рассматриваемых условий принятие решений может производиться:

• по одному критерию;

• по нескольким критериям.

Пример. Одной из фирм требуется выбрать оптимальную стратегию по обеспечению нового производства оборудованием. С помощью экспериментальных наблюдений были определены значения частных критериев функционирования соответствующего оборудования (а, у), выпускаемого тремя заводами-изготовителями. Рассмотрим данные для выбора оптимальной стратегии в условиях полной определенности. Значения частных критериев даны в условных единицах. На основе экспертных оценок были также определены веса частных критериев в условных единицах λ₁= 0,4; λ₂ = 0,2; λ₃ = 0,1; λ₄ = 0,3. Очевидно, выбор оптимальной стратегии (варианта оборудования) по одному критерию в данной задаче не вызывает затруднений. Например, если оценивать оборудование по надежности, то лучшим является оборудование завода 1 (стратегия x₁). Выбор оптимального решения по комплексу нескольких критериев является задачей многокритериальной.

Варианты оборудования (стратегии, решения)	Частные критерии эффективности оборудования
Производительность, д. е.	Стоимость оборудования, д. е.	Энергоемкость, у. е.	Надежность, у. е.
Оборудование завода 1, х1 Оборудование завода 2, х2 Оборудование завода 3, х3	а11=5 а21=3 а31 =4	а12=7 а22=4 а32 =6	а13=5 а23=7 а33=2	а14=6 а24=3 а34=4

Один из подходов к решению многокритериальных задач управления связан с процедурой образования обобщенной функции Р монотонно зависящей от критериев данная процедура называется процедурой (методом) свертывания критериев. Существует несколько методов свертывания, например:

•метод адаптивной оптимизации;

•метод многоцелевой оптимизации и др.

Рассмотрим метод аддитивной оптимизации. Пусть

F_i (a_ij)= .

Здесь выражение определяет аддитивный критерий оптимальности. Величины λ_j являются весовыми коэффициентами, которые определяют в количественной форме степень предпочтения j-го критерия по сравнению с другими критериями.

Коэффициенты λ_j определяют важность j-го критерия оптимальности. При этом более важному критерию приписывается больший вес, а общая важность всех критериев равна единице, т. е.

= 1.

Обобщенная функция цели F_i может быть использована для свертывания частных критериев оптимальности, если:

•частные критерии количественно соизмеримы по важности, т. е. каждому из них можно поставить в соответствие некоторое число, которое численно
характеризует его важность по отношению к другим критериям;

•частные критерии являются однородными.

В этом случае для решения задачи многокритериальной оптимизации оказывается справедливым применение аддитивного критерия оптимальности.

Пусть необходимо выбрать оптимальный вариант оборудования по двум однородным локальным критериям:

а) производительность (д. е.);

б) стоимость оборудования (д. е.).

На основе экспертных оценок были определены весовые коэффициенты этих двух частных критериев: λ₁ = 0,667, λ₂ = 0,333. Вычислим аддитивный критерий оптимальности для трех вариантов:

F₁ (a_1j) = λ₁∙а₁₁+ λ₂∙а₁₂=0,667∙5+0,333∙7=5,666

F₂ (а_2j) = λ₁ ∙а₂₁+ λ₂ ∙а₂₂=0,667∙3+0,333 ∙ 4=3,333

F₃ (а_3j) = λ₁ ∙а₃₁+ λ₂∙а₃₂=0,667 ∙4+0,333 ∙6=4,666.

Очевидно, первый вариант оборудования по двум частным стоимостным критериям будет оптимальным, так как F_max =5,666.

В примере четыре локальных критерия не однородные, т.е. имеют различные единицы измерения. В этом случае требуется нормализация критериев.

Под нормализацией критериев понимается такая последовательность процедур, с помощью которой все критерии приводятся к единому, безразмерному масштабу измерения. Разработано большое количество схем нормализации. Рассмотрим один из них.

Определим максимум и минимум каждого локального критерия, т. е.

а =max a_ij; а =min a_ij.

Выделим группу критериев а_j, j=1,2,…,l которые максимизируются при решении задачи, и группу критериев а_j, j= l +1, l +2, …, n, которые минимизируются при решении задачи. Тогда в соответствии с принципом максимальной эффективности нормализованные критерии определяются из следующих соотношений:

= , j=1,2,…,l; =1- , j=l+1, l +2, …, n.

Оптимальным будет тот вариант, который обеспечивает максимальное значение функции цели

F_i = ∙ .

В соответствии с принципом минимальной потери нормализованные критерии определяются так:

= , j=l+1, l +2, …, n; =1- , j=1,2,…,l.

При этом оптимальным будет тот вариант, который обеспечивает минимальное значение функции цели.