Г) —y и —2. Выясните в каждом из случаев, какой угол (тупой или острый) образуют эти прямые с осью абсцисс

184. Найдите угловой коэффициент секущей к графику функции

f (_кх)=-^-х²_у прохо ящей через точки с данными абсциссами

Xi и Хо. Какой угол (острый или тупой) образует секущая с осью Ох, если:

a) xi =0, х₂=1; б) Х| = — 1, х₂=— 2;

в) х| = 1, х₂ = 2; г) Х| = — 1, х₂ = 0?

185. Ребро куба х получило приращение Дх. Найдите прираще­ние площади полной поверхности куба.

186. Выразите Д/ и через х₀ и Дх и преобразуйте полученные выражения:

^а) /(*)= — х³4-3х; б);

в) f (х) = х³ 2х; г) f(x)=^q-j.

187. Найдите среднюю скорость точки, движущейся по прямой, за промежуток времени [/₀; t₀-\-ht], если известен закон дви­жения:

a) x(t)=v₀t — б) x(t)= — at-\-b;

в) x(i) = ~; г) х (t) = at — b.

13. Понятие о производной

1. Понятие о касательной к графику функции. Графики практически всех известных вам функций изображались в виде гладких кривых. Рассмотрим, как геометрически устроены такие кривые, на конкретном примере — графике функции у = х² (рис. 82) при значениях аргумента, близких к 1.

Для этого увеличим единицу масштаба (по сравнению с мас­штабом рисунка 82) в 10 раз; в этом масштабе построим график у—х¹ на отрезке [0,5; 1,5] (рис. 83). Затем, увеличивая масштаб еще в 10 раз, построим график функции на отрезке [0,95; 1,05] (рис. 84) На этом рисунке хорошо видно, что при значениях, близких к 1, график функции у — х² практически не отличает­ся от маленького отрезка прямой tj = 2x—1, т. е. точки графика данной функции как бы «выстраиваются» вдоль этой прямой.

Аналогичным свойством обладает любая гладкая кривая: про­извольный ее маленький участок практически не отличается от отрезка некоторой прямой /. (Интересно заметить, что графо­построители, применяемые в ЭВМ, «рисуют» графики гладких функций по точкам, проводя в каждой точке маленький отрезок.) Отметим, что для каждой точки гладкой кривой соответствующая этой точке прямая (т. е. прямая, отрезком которой мы представля­ем себе маленький участок кривой) вполне определена. Чтобы по­нять это, обратимся к следующей наглядной иллюстрации.

Допустим, мы хотим изготовить трафарет, чтобы быстро рисо­вать синусоиду, параболу или гиперболу и т. п. Для этого пред­варительно на миллиметровой бумаге строится возможно точнее график этой кривой. Как вы можете убедиться, с помощью нож­ниц удается аккуратно вырезать трафарет, граница которого — нужная нам кривая. Положение ножниц в каждой точке (а оно и задает искомую прямую в этой точке) вполне определено: любое отклонение ножниц в ходе разрезания от этого положения при­водит либо к появлению выступа, либо к прорезу трафарета.

Проходящую через точку (х0; f (хо)) прямую, с отрезком ко­торой практически сливается график функции / при значениях х, близких к х0, называют касательной к графику функции f в точ­ке (х0; f М). Возникает естественная задача: определить точное положение касательной к графику данной функции / в заданной точке.

Г'

Координаты одной точки прямой I известны — это точка (хо; f (*о))- Остается найти угловой коэффициент k касательной В качестве примера рассмотрим функцию у = х². Ее график в малой окрестности точки хо близок к отрезку касательной /. Поэтому естественно ожидать, что угловые коэффициенты се­кущих, проходящих через точки (хо; х²) и (хо + Л.г, (л'₀ + Лл:)²), бу дут близки к угловому коэффициенту k, если Ах будет неограни­ченно приближаться к нулю (т. е. точка х приближается к х₀) Угловой коэффициент k (Ах) секущей, проходящей через точки

(*о; у{хо)) и (хо + Дх; */(*о + А*)), равен (п. 12), где Ду — при­ращение функции у в точке *о, соответствующее приращению Ах аргумента. Для функции у = х²

k (Аж)=-ff-=-^х°=²*°^А*+№ = 2х₀ + Ах (1)

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, остается выяс­нить, к какому значению близко k (Ах), если Ах приближается к нулю. Очевидно, что k {Ах) близко к 2хо. Следовательно, при очень малых значениях Да: угловой коэффициент секущей близок к 2*о. При *о=1 получаем k = 2. Учитывая, что искомая касатель­ная проходит через точку (1; 1), приходим к выводу, что уравнение касательной таково: у = 2х—\. К этому же выводу пришли в на чале пункта из чисто наглядных соображений.

2. Мгновенная скорость движения. Обратимся теперь к задаче, известной вам из физики. Рассмотрим движение точки по пря­мой. Пусть координата х точки в момент времени t равна x(t). Как и в курсе физики, предполагаем, что движение осу­ществляется непрерывно и плавн*. Иными словами, речь идет о движениях, наблюдаемых в реальной жизни. Для определенности будем считать, что речь идет о движении автомобиля по прямо­линейному участку шоссе.

Поставим задачу: по известной зависимости *(/) определить скорость, с которой движется автомобиль в момент времени t (как вы знаете, эта скорость называется мгновенной скоростью). Если зависимость x{t) линейна, ответ прост: в любой момент вре­мени скорость есть отношение пройденного пути ко времени. Если движение не равномерно, задача сложнее.

Тот факт, что в любой момент времени автомобиль движется с какой-то определенной (для этого момента) скоростью, очевиден Эту скорость легко найти, сделав в момент времени to фото­снимок спидометра. (Показание спидометра указывает значение мгновенной скорости в момент t.) Чтобы найти скорость о_мгн(^о), зная х (0, на уроках физики вы поступали следующим образом Средняя скорость за промежуток времени длительностью |Д/| от to до /о + А^ известна (п. 12):

о„ (")=£•• (2)

Как мы предположили, тело движется плавно. Поэтому естест­венно полагать: если At очень мало, то за этот промежуток времени скорость практически не меняется. Но тогда средняя ско­рость (на этом промежутке) практически не отличается от значе­ния DMni {to), которое мы ищем. Это подсказывает следующий способ определения мгновенной скорости: найти vcp(At) и посмотреть, к.какому значению оно близко, если считать, что At практически не отличается от нуля.