Arcsin —

Рассмотрим обход дуги / от точки Р_и к P_ti в направлении по часовой стрелке; и t₂— —я — arcsin —-р Все реше­

Ния неравенства из промежутка^——; длиной2я таковы: —Учитывая периодичность синуса, получаем все

4 4

решения неравенства:

^5л \~2лп, n£Z.

4 •------------ ^ 4

Пример 3. Решим неравенство cos *<•£-•

Множество точек единичной окружности, абсциссы которых меньше лежат левее прямой х=Значит, множество всех

таких точек есть дуга /, выделенная на рисунке 74 (концы ее Р_и и Р _<2 не входят в это множество). Находим /1 и t₂. Точка Р_и рас­положена на верхней полуокружности, абсцисса Р_и равна еле-

1 Я

довательно, /1 = arccos-5-=—. При переходе от точки Р, к Р,

по дуге / выполняем обход против движения часовой стрелки, тог-

1 5л

да tz>t\ и /₂=2я —arccos—=—. Точка принадлежит выделен-

5jt

ной дуге I (исключая ее концы) при условии, что -£-<</<<-£. Ре-

О О

шения неравенства, принадлежащие промежутку [0; 2л] длиной 2л, таковы: Вследствие периодичности косинуса ос-

О О

тальные решения получаются добавлением к найденным чисел вида 2л п, где n£Z. Приходим к окончательному ответу:

-|-+ 2 лп</<у-+ 2 лп, neZ.

Пример 4. Решим неравенство tg 1.

Период тангенса равен л. Поэтому найдем сначала все ре­шения данного неравенства, принадлежащие промежутку ^ —j—;, а затем воспользуемся периодичностью тангенса.

Для выделения всех точек P_t правой полуокружности, значения / которых удовлетворяют данному неравенству, обратимся к линии тангенсов. Если t является решением неравенства, то ордината точки Т, равная tg t, должна быть меньше или равна 1. Множество таких точек Т —луч АТ (рис. 75). Множество точек Р/, соот­ветствующих точкам этого луча,— дуга /, выделенная на рисунке (обратите внимание: точка Р_и принадлежит, а Р „не принадле-

~т

жит рассматриваемому множеству). Находим условие, при кото­ром точка P_t принадлежит дуге /. t\ ^, и tg t\ = 1, сле­довательно, t\— arctg 1 =-£-• Значит, t должно удовлетворять ус­ловию —Все решения данного неравенства, принадле­жащие промежутку (—j-;, таковы: ^ -j-J. Учиты­вая периодичность тангенса, получаем ответ:

■ ——(- ЛП <С 1 ~f~ ЛП, n£Z.

Л/2

Пример 5. Решим неравенство cos 2х^

Обозначив 2х через t, получим cos На рисунке 76 вы­

делена соответствующая дуга /. Находим t\ = arccos^—