Последовательность №2

Бесконечной числовой последовательностью {x_n} называется функция, определенная на множестве натуральных чисел N. Отдельные числа последовательности называются ее элементами.

Например, числовую последовательность образуют следующие величины:

1. Пусть x_n = 1/(2n – 1). Каждому n соответствует определенный член последовательности, т.е. придавая n = 1, 2, 3 …, получаем

{x_n}: 1, 1/3, 1/5…, 1/(2n-1),…

2.

3.

4. где а, d – постоянные числа.

N,...;

6. 1,-1,1,-1,...,(-1)ⁿ,...;
7. 1,1/2,1/3,...,1/n,....

Рассматривают арифметические операции над последовательностями: Если x_n,y_n – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при y_n¹ 0 называются соответственно последовательности

{(x_n ± y_n)},{(x_ny_n)},{(x_n/y_n }.

Если вместо множества всех натуральных чисел взять некоторое его бесконечное подмножество n_k, k = 1,2 ,..., n_k<n_{k+ 1}, то получим подпоследовательность x_nk.

Рассмотрим {x_n}= {x₁, x₂,…x_n,…}; {x_n1}= { x₂,…x_n,…}….

x_n = {n}=1,2,3,...,n,... x_nk = {1,3,...,2n-1,...}

3.2.

Задать числовую последовательность – значит указать правило, с помощью которого по номеру члена можно найти это член.

Аналитический – задание формулой общего члена последовательности, т.е. задать функцию x_n=f(n).

Если {x_n} задать, то последовательность имеет вид: f(1), f(2)…

Табличный – задание таблицей.

Графический – задание графиком:

- на числовой примой;

- в прямоугольной системе координат. График состоит из изолированных точек, абсциссы которых – натуральные числа, а ординаты – значения членов последовательности с соответствующим этим числам номерами.

Рекуррентный – каждый член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предшествующие члены, т.е. указывается первый член (или несколько первых) и формула, позволяющая определять любой член последовательности по известным предшествующим.

а₁=1, а₂=1, а_n+2=a_n+a_n+1

{a_n}: 1, 1, 2, 3, 5, 8, …

Словесный – задание описанием.

Простые числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, …

Число е по десятичным приближением: 2; 2,7; 2,71; 2,718; …

3.3.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если $ M (m), такое, что для любого nÎ N x_n£ M (x_n³ m).

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, то есть $ c> 0 такое, что |x_n| £ c для любого nÎ N. Заметим, что в данном определении c=max{|m|,|M|}.