Множество натуральных чисел ограничено снизу и не ограничено сверху

1. Любой конечный отрезок [a,b] или интервал (a,b) ограничен.

2. Числовая прямая R есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

Для числовых множеств различают свойство замкнутости относительно некоторого действия, т.е. если результат этого действия над любыми элементами этого множества всегда является элементом этого же множества.

Далее, если мы хотим сказать, что все березки, находящиеся в данном лесу, принадлежат и всему лесному богатству нашей страны, а все студенты, которые числятся в университете, числятся и студентами России, то для сокращения фраз используются

термины ПОДМНОЖЕСТВО или ВКЛЮЧЕНО. "Подмножество" - то есть какая-то часть множества.

Множество студентов университета "включено" в множество студентов страны. То есть множество студентов университета "есть подмножество" множества студентов страны. Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов страны "включено" во всемирное множество студентов.

К Если каждый элемент множества М является элементом множества К, М является подмножеством множества К;

М Ì К

М

Подмножество обладает свойствами:

Например, можно сказать, что множество студентов группы ух-001 включено в множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку, НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете.

Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя. Другими словами, любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента.

2) Любое множество является собственным подмножеством. Или то же самое, любое множество включено само в себя.

Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.

3) Если два множества (возможно на первый взгляд различные) включены друг в друга, то эти множества равны - то есть состоят из одних и тех же элементов.