Можно сказать, что на отрезке от 0 до 1 ровно столько же точек, сколько на отрезке прямой от Земли до Юпитера

Здесь тоже часть равна целому, если и часть, и целое имеют мощность континуума. И все они одинаково больше мощности счетного множества.

2.1.

Мы будем рассматривать всюду – определенные функции на числовых множествах (отображения), и будем их называть просто функциями, и обозначать y = f (x).

Значения аргумента х из множества Х мы можем выбирать по нашему усмотрению произвольно; поэтому величина х называется независимой переменной. Значение же функции у, когда значение независимой переменной х уже назначено, мы выбрать произвольно не можем; это значение будет строго определенным, именно тем, которое соответствует выбранному значению независимой переменной. Значения функции зависят от значений, принимаемых независимой переменной, и обычно изменяются при ее изменении. Поэтому функцию называют еще зависимой переменной. ƒ – закон соответствия, знак функции – то правило по которому устанавливается соответствие между х и у.

Если задано взаимно-однозначное соответствие, то х = f(y) – функция обратная функции y= f(x), а y= f(x) – обратимая.

Множество Х называется областью определения функции (D(f)).

Областью определения функции может быть любое множество точек числовой оси, но чаще всего в математическом анализе и в его применениях рассматривают лишь функции, областями определения которых служат области таких двух типов:

· множество целых неотрицательных точек числовой оси, т.е. точек х=0, х=1, х=2, х=3,... (или некоторая часть этого множества);

· один или несколько интервалов (конечных или бесконечных) числовой оси.

Говорят, что в первом случае мы имеем функцию целочисленного аргумента, а во втором случае - функцию непрерывного аргумента. В первом случае аргумент может пробегать ряд чисел: n:=0, 1, 2, 3,...; во втором случае аргумент пробегает один или несколько интервалов числовой оси.

Множество, в которое отображается множество Х, называется областью значений функции (Е(f)).

Число y, куда отображается число х, называется образом. Число х прообраз числа y.

Основные элементарные функции:

1. у = х^п, у = х ^–п, у = х^м/п, где п, Є N, м Є Z. Эти функции называются степенными.

2. Показательная функция у = а^х, а > 0, а ≠ 1.

3. Логарифмическая функция у = log_ах, а>0, а ≠ 1

4. Тригонометрические функции у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х.

5. Обратные тригонометрические функции у = argsin х, у = arccos х, у = arctg х,

у = arcctg х.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня) называются элементарными.

у = )/(sin²х+3) или у = 2 - tg х.

Примером неэлементарной функции является функция у = |х|.

Также различают сложные функции(суперпозиция функций). Пусть функция у = f(u) есть функция от переменной u, определенная на множестве U с областью значений – У, а переменная u = φ(х) функция от переменной х, определенной на множестве Х с областью значения U. Тогда заданная на множестве Х функция у = f(φ(x)) называется сложной функцией (функцией от функций).

у = lg sin 3х. Эту сложную функцию от х можно расписать, как цепочку простых функций: у= lg u, u = sin t, t = 3x.