Відшукавши відповідну редукцію, ми можемо зробити висновок, що

f = repeat w_пр:= w; w:= (w_пр + ) until ê| w² — w_пр² |ê< v.

При цьому слушність виводу безпосередньо випливає з побудови.

Реальні задачі характеризуються високим рівнем складності. Тому створення моделей їх розв‘язань, тим більше автоматизованих, висуває на перший план проблему розробки середовища інтеграції, що являє собою сукупність адекватних засобів інтеграції, орієнтованих на той або інший клас задач.

Виходячи з того, що эксплікативне моделювання є, відповідно до зазначеного вище, адекватним уточненням поняття моделювання, воно об'єктивно може розглядатися як ядро середовища інтеграції. Головною відмінною рисою останньої є її інваріантність в універсумі задач. Все це дозволяє строго математично і, що особливо важливо, адекватно виділити модельні специфікації (эксплікативні моделі і (або) процеси їхньої побудови) як інваріант у класі всіх специфікацій задач.

Модельні специфікації як інваріантні (загальнозначущі) засоби задають логіку розв‘язання задач. Тому їх називають логічними специфікаціями. Що ж стосується специфікацій задач, відмінних від логічних, то вони відбивають більш конкретні, спеціальні властивості задач. У цьому розумінні вони є відбитком предметної сутності задач. Тому вони одержали назву предметних специфікацій.

На відміну від логічних специфікацій предметні складають варіативний компонент у класі всіх специфікацій. Останній залежно від вибору того або іншого класу задач може змінюватися в самих найширших межах.

Нічим не обмежена можливість таких змін призводить до необхідності виділення в класі варіативних компонент інваріантів, що мають вже не абсолютний, а відносний характер. Через це їх почали називати релятивними інваріантами.

У реальних системах моделювання сім‘я релятивних інваріантів складно влаштована. Тому в сім‘ї релятивних інваріантів у свою чергу послідовно виділяється сім‘я релятивних інваріантів і т.д. Таким чином, з'являються релятивні інваріанти вищих типів.

Апріорі структура релятивних інваріантів вищих типів у середовищі специфікацій може бути як завгодно складною. Але на практиці ступінь ієрархії тут не перевищує пяти-шести, що відповідає реальним інтеграційним можливостям прагматико-орієнтованих моделей.

З огляду на цю об'єктивну обставину, домовимося надалі середовище специфікацій як сім‘ю всіх можливих специфікацій (универсум специфікацій) розглядати під кутом зору середовища інтеграції, що адекватно підтримує лише інтеграційні можливості прагматико-орієнтованих моделей.

Середовище інтеграції суть біпольне середовище, що являє собою систему взаємодії двох полюсних середовищ, підтримуваних інтерфейсним середовищем. Одне полюсне середовище являє собою макроінтеграційне середовище, а інше ¾ мікроинтеграційне.

У реальних системах інтеграції макроінтеграційне середовище підтримується макроінтегратором, мікроінтеграційне середовище — мікроінтегратором, а інтерфейсне середовище — інтерфейсною системою.

Поряд із наведеною вище параметризацією за параметром інтегративності, що підрозділяє специфікації на інтегративні і позаінтегративні, у прагматико-орієнтованих системах явно виділяються параметризації і за іншими параметрами. Так, наприклад, явно вводиться параметризація за ступенем формальності, що, зокрема, підрозділяє всі специфікації на формальні і неформальні.

Серед формальних специфікацій особливе місце займають логіко-математичні специфікації, що задовольняють двоєдиній вимозі: можливості, з одного боку, визначати їх у рамках точних логіко-математичних засобів і, з іншого, ефективного (конструктивного) зведення (редукції) таких специфікацій до процесів побудови моделей у эксплікативному моделюванні.

Логіко-математичні специфікації прагматико-орієнтованих моделей можуть бути як завгодно складними. Тому вони параметризуються за параметром типовості задач, що ці логіко-математичні специфікації підтримують. У зв'язку з цим виділяють логіко-математичні специфікації, що підтримують задачі вищих типів, тобто задача типу класів задач, задача типу задач типу класів задач і т.д.

Очевидно, що розглядаючи эксплікативне моделювання в середовищі логіко-математичних специфікацій задач вищого типу, неможливо, не входячи в протиріччя з адекватністю рішень задач, обмежитися рамками середовища мікроінтеграції. При необхідності варто втягнути в розгляд середовище макроінтеграції і, що особливо важливо, повною мірою біпольне середовище, підтримуване інтегратором, яке являє собою систему інтерфейсної взаємодії макро- і мікроінтеграторів.

Таке залучення зсуває акценти із середовища логіко-математичних специфікацій задач вищого типу в сферу інтеграції систем розв‘язання таких задач. Проілюструємо це на найпростіших задачах чисельного аналізу. Причому дане ілюстрування для наочності і з метою ще раз підтвердити адекватність даного підходу до процесу моделювання зробимо поетапним, за принципом «від простого до складного».

1. Репрезентативним зразком эксплікативного моделювання в середовищі мікроінтеграції може служити вищенаведений приклад розв‘язання задачі обчислення . Тому не будемо ще разом докладно зупинятися на розгляді задач такого роду, а перейдемо до задач эксплікативного моделювання в середовищі інтеграції.

2. Эксплікативне моделювання в рудиментарному середовищі інтеграції. Розглянемо клас спеціальних рівнянь типу х =j(х), де функція j(х) задовольняє наступним двом умовам:

ü вона визначена і неперервно диференційована на всій числовій прямій;

ü існує таке дійсне число p <1, що для всіх х модуль похідної |j¢(х) |£ р.

Відомо, що стосовно такого класу рівнянь метод послідовних наближень або, як кажуть, метод простих ітерацій збігається. Іншими словами, кожне рівняння з цього класу має єдиний дійсний розв‘язок. Причому його можна знайти методом послідовних наближень, тобто, почавши з довільного дійсного числа х ₀ (початкового наближення), побудувати послідовність х ₀, х ₁, х ₂,..., де х_i =j(х_{i -1}) (i =1, 2,...), що збігається до розв‘язку рівняння х =j(х).

Таким чином, доречно порушити питання про эксплікативне моделювання пошуку наближених розв‘язків зазначених рівнянь методом послідовних наближень. В основі такого моделювання лежить зведення пошуку розв‘язку до обчислення його наближення (наближеного розв‘язку), тобто такого елемента згаданої послідовності наближень, що задовольняє двом умовам:

1) для будь-якого i < n | x_i — x_i-1 |³ e, де e — наперед задане позитивне дійсне число, яке називається точністю обчислення;

2) | x_n — x_n-1 |<e.

З умов (1) — (2) випливає, що моделювання пошуку наближеного розв‘язку рівняння х =j(х) може бути зведене до деталізації функції f, що перетворює іменну множину {(v, x₀), (u, e)} на іменну множину {(v, x_n)}, де x_n — перший член послідовності наближень, для якого виконується умова (2).

Для того, щоб здійснити таку деталізацію за аналогією з пунктом 1, знаходимо відповідну редукцію функції f. У якості такої редукції тут, мабуть, може бути обрана іменна функція v_пр:= v; v:=j(v_пр). Тут v_пр — ім'я комірки, у якій міститься попередній елемент відносно елемента, привласненого комірці з ім'ям v, а v:=j(v_пр) — операція присвоювання комірці з ім'ям v наступного значення функції j на попередньому значенні (вмісті комірки з ім'ям v_пр). Адже воно адекватно відбиває основну властивість обчислення наближення.

Відшукавши потрібну редукцію, ми, як і раніше, можемо автоматично побудувати свідомо коректну схему моделі розв‘язків:

f = repeat v_пр:= v; v:=j(v_пр) until | v — v_пр |ê< u.

Результатом побудови, як бачимо, є не конкретна эксплікативная модель, а, як кажуть, эксплікативна модель з оракулом j(v) (далі, виходячи з того, що предметом розгляду є тільки эксплікативні моделі, слово эксплікативні опускати) або схема моделі, тобто не “абсолютна”, а “відносна” модель (модель щодо функції j(v)). Вона перетворюється на конкретну (абсолютну) модель після заміни j(v) конкретною функцією з розглянутого класу функцій, таких, наприклад, як , , і т.д. Таким чином, побудувавши модель з оракулом, ми фактично побудували нескінчений клас конкретних моделей, що підтримують розв‘язання будь-якого рівняння згаданого класу.

Як бачимо, на відміну від випадку эксплікативного моделювання в середовищі мікроінтеграції, розв‘язання розглянутого класу рівнянь ми за необхідності эксплікативно моделювали в спеціальному біпольному середовищі інтеграції. Спеціальність його в тому, що воно, хоча і включає поряд із середовищем мікроінтеграції середовище макроінтеграції, індуковане оракульністю відповідної эксплікативной програми, однак система інтерфейсної взаємодії цих середовищ має зародковий (рудиментарний <від лат.rudimentum — зародок>) характер, що підтримує тривіальну макроінтеграцію оракула в середовище мікроінтеграції. Тому це спеціальне біпольне середовище називають рудиментарним.

3. Эксплікативное моделювання в біпольному середовищі інтеграції. Проілюструємо його стосовно задач обчислення операцій підсумовування і мультиплікування.

3.1. Эксплікативне моделювання обчислення операцій сумування. Під функцією, заданою операцією сумування, розуміють функцію, обумовлену рівністю

f (x₁,..., x_n-1, m)= g (x₁,..., x_n-1, i),

де g (x₁,..., x_n-1, i) — довільна, але фіксована функція, що залежить від дійсних змінних x₁,..., x_n-1 і змінної i, що набуває натуральних значень.

У якості функціональної структури моделі обчислення функції f (x₁,..., x_n), що залежить від дійсних змінних x₁,..., x_n-1 і зінної x_n, що набуває натуральні значення, доцільно вибрати іменну функцію f (не плутати з f (x₁,..., x_n)), що перетворює іменні множини {(v₁, a₁),..., (v_n-1, a_n-1), (v_n, m)} на іменні множини {(w, f (a₁,..., a_n-1, m))}, де a₁,..., a_n-1 — дійсне число, а m — натуральне число. Що ж до її эксплікативної структури, то її визначення зводиться до побудови відповідної h- редукції функції f.

Для того, щоб побудувати таку h- редукцію, звернемося до основної властивості функції f (x₁,..., x_n). Вона задається наступним рекурентним співвідношенням:

f (x₁,..., x_n-1, 1)= g (x₁,..., x_n-1, 1),

f (x₁,..., x_n-1, m +1)= f (x₁,..., x_n-1, m)+ g (x₁,..., x_n-1, m +1).

З цього рекурентного співвідношення безпосередньо випливає, що оператор присвоювання v_n:= v_n +1 є v_n:= v_n+ 1; w:= w + g -редукцією функції f, де g — іменна функція, яка з кожною іменною множиною {(v₁, a₁),..., (v_n-1, a_n-1), (u, m)} зіставляє число g (a₁,..., a_n-1, m). Тому, керуючись попередніми міркуваннями, ми можемо зробити висновок, що має місце рівність:

f = u:=0; w:=0; repeat u:= u +1; w:= w + g until u = v_n.

Характерною рисою эксплікативної структури, що задається цією рівністю, є її відносність, яка проявляється у входженні функції g. Тому, як і в пункті 2, вона являє собою структуру не конкретної моделі, а моделі з оракулом (схеми моделі). Конкретні моделі утворюються з цієї схеми шляхом заміни функції g конкретною функцією.

Візьмемо, наприклад, у якості g функцію 1/ i. Тоді, здійснюючи зазначену заміну, одержимо модель часто розглядуваної функції 1/ i:

u:=0; w:=0; repeat u:= u +1; w:= w +1/ u until u = v.

Цілком аналогічним способом эксплікативно моделюється обчислення функції, що обумовлена рівністю:

m

f (x₁,..., x_n-1, k, m)= S g (x₁,..., x_n-1, i) (k £ m).

i=k

Конкретно воно задається наступною эксплікативною моделлю:

u:= k-1; w:=0; repeat u:= u +1; w:= w + g until u = v_{n +1}.

Використовуючи цю модель, не важко побудувати модель для обчислення функції, заданої рівністю:

m (x1,..., xn)

f (x₁,..., x_n)= S g (x₁,..., x_n-1, i),

k (x1,..., xn)

де k (x₁,..., x_n) і m (x₁,..., x_n) — такі функції дійсного аргументу і натурального значення, що k (x₁,..., x_n)£(x₁,..., x_n) для всіх x₁,..., x_n. У якості такої моделі може слугувати:

v_{n +1}:= m { v₁,..., v_n }; u = k { v₁,..., v_n }—1; w:=0; repeat u:= u +1; w:= w + g until u = v_{n +1},

де k { v₁,..., v_n } і m { v₁,..., v_n } — іменні функції, що відповідають функціям k (x₁,..., x_n) і m (x₁,..., x_n).

3.2. Эксплікативне моделювання обчислення операцій мультиплікування. Під функцією, заданою операцією мультиплікування, розуміють функцію, обумовлену рівністю

f (x₁,..., x_n-1, m)= g (x₁,..., x_n-1, i),

де g (x₁,..., x_n-1, i) має попередній зміст.

Як і в попередньому прикладі, виберемо в якості функціональної структури моделі обчислення функції f (x₁,..., x_n) іменну функцію f, що перетворює іменні множини {(v₁, a₁),..., (v_n-1, a_n-1), (v_n, m)} на іменні множини {(w, f (a₁,..., a_n-1, m)}. Для того, щоб задати її эксплікативну структуру, побудуємо відповідну h- редукцію функції f. З цією метою звернемося до основної властивості функції f (x₁,..., x _n). Вона визначається таким рекурентним співвідношенням:

f (x₁,..., x_n-1, 1)= g (x₁,..., x_n-1, 1),

f (x₁,..., x_n-1, m +1)= f (x₁,..., x_n-1, m)· g (x₁,..., x_n-1, m +1).

З цього рекурентного співвідношення випливає, що оператор присвоювання v_n:= v_n +1 являє собою v_n:= v_n +1; w:= w · g- редукцію функції f, де g — іменна функція, що має той же зміст, що й у пункті 3.1. Знайшовши v_n:= v_n +1; w:= w · g- редукцію, ми, по суті, звели обчислення операцій мультиплікування до схем эксплікативних моделей, подібних розглянутим у попередньому пункті.

На відміну від задач попереднього пункту, задачі, розв'язувані в пунктах 3.1 і 3.2, як задачі вищого типу характеризуються нетривіальним взаємозв'язком багатьох оракулів. Тому адекватний розв‘язок їх недоцільно обмежувати рамками рудиментарного середовища інтеграції, бо воно об'єктивно вимагає більш високого рівня інтеграції, індукованого нетривіальною взаємодією оракулів як між собою, так і з макро- і микросередовищем інтеграції.

Таким чином, уже з розгляду досить простих, але репрезентативних прикладів стає очевидним, що основні принципові складності при розв‘язанні задач пов'язані в першу чергу з інтеграційними проблемами эксплікативного моделювання, розв‘язок яких повинен грунтуватися на моделелогії як науці моделебудування, предметом якої є не стільки процеси моделебудування, скільки їх логіки.