Многокритериальная сложная оптимизация

При работе с задачами векторной или, иначе, многокритериальной оптимизации (МОЗ) широко распространенным заблуждением является представление о том, что такая задача имеет решение в общем случае. Как бы пессимистично это ни звучало, но в общем случае задача многокритериальной оптимизации решения не имеет. Рассмотрим простейший пример. Пусть надо найти такое значение некоторого технологического параметра оборудования х_п, при котором затраты на производство (3) достигают минимума, а качество изделия (К) - максимума. Пусть, во-первых, по физическому смыслу х_п >0 и, во-вторых, при современном уровне развития техники можно создать оборудование только со значениями x_n < p _max. Следовательно, надо решить задачу МОЗ вида

Найти x ₀: ; ; .

Зададим конкретный вид функций 3 (х ₀) и К (х ₀). Пусть для достижения больших значений технологического параметра х ₀ то X необходимы большие затраты, и в простейшем случае 3 (х ₀)= ах ₀. Пусть, также, чем выше значение параметра х ₀, тем выше качество получаемого изделия, и в простейшем случае К (х ₀)= сх ₀, где а и с – константы. Совершенно очевидно, что для данных функций 3 (х ₀) и К (х ₀) задача не имеет решения, поскольку на отрезке минимум 3 (х ₀) достигается при х ₀=0, а максимум К (х ₀) - при х ₀= .

Существующие программы и алгоритмы решения МОЗ тем или иным образом сводят ее к обычной задаче нелинейного программирования – задаче минимизации одного критерия (одной функции).

При разработке методологических вопросов задачи управления развитием технологической системы недостаточно формализовать ее в виде МОЗ. Способ решения МОЗ – это такой же важный методологический вопрос, как и вопрос ее постановки. Рассмотрим некоторые известные методы решения задачи и проанализируем их с позиции применимости в машиностроении.

Прежде всего, повторим, что оптимальное решение по одному критерию может оказаться не лучшим по значениям других критериев, поэтому в общем случае невозможно найти решение, оптимальное (в строго математическом смысле) по всем критериям. Существующие методы многокритериальной оптимизации, по сути дела, заменяют в этой задаче понятие «оптимальное» решение на какое-то др.

Можно выделить две группы методов:

1. Построение Парето-оптимального решения (вместо оптимального);

2. Традиционные «инженерные» методы многокритериальной оптимизации, сводящие задачу МОЗ к некоторой однокритериальной (следовательно, вместо оптимального решения будет получено оптимальное решение для новой целевой функции).

Рассмотрим несколько методов второй группы, а именно: метод последовательных уступок, метод ведущего (главного) критерия, метод линейной свертки.