Другие формулы вычисления вероятностей для схемы Бернулли

Хотя формула Бернулли и является точной, она не всегда удобна. Например, при 100 бросках монеты

,

и вычисление точного ответа затруднительно. Формула Бернулли приемлема для вычислений, если число испытаний не превышает 10-15. При больших n используют либо формулу Лапласа, либо формулу Пуассона.

Формула Лапласа (локальная теорема Лапласа)

, ,

тем точнее, чем больше n. Здесь n, k, p, q  те же величины, что и в формуле Бернулли. Функция jx) четная: jx) = jx). Она быстро убывает: считают, что при x > 4 jx) = 0. Таблица, позволяющая вычислять значения функции j (x), имеется во всех учебниках и задачниках по теории вероятностей. Впрочем, можно не иметь таблицы, а иметь калькулятор, вычисляющий экспоненту (функцию е^х).

Пример 1. Вероятность выпадения ровно 50 “орлов” при 100 бросках монеты Р₁₀₀ (50) вычислим по формуле Лапласа. Здесь n = 100,k = 50,p=0,5, q = 0,5, k  np = 0, и

.

Пример 2. Найти вероятность выпадения от 47 до 57 “орлов” при 100 бросках монеты. При решении подобных задач (при n > 15) используют интегральную теорему Лапласа: вероятность Р_n (k₁,k₂) появления события в n испытаниях от k₁ до k₂ раз

Здесь n, p, q те же, что и в примере 1: n=100, p = q =0,5, k₁=47, k₂ = 57.

Функция F вычисляется с помощью таблиц (см. приложение).

Функция Ф (x) нечетная: Ф (х) =  Ф (х). При х > 5 считают, что Ф (х) = 0,5.

Итак, Р₁₀₀ (47,57) = Ф (1,4) + Ф (0,6). По таблице Ф (1,4) = 0,4192, Ф (0,6) = 0,2257, поэтому Р₁₀₀ (47,57) = 0,6449.

При небольших значениях вероятности p (меньших 0,1) и больших значениях n более точный результат дает другая приближенная формула  формула Пуассона

, l =np

l называется параметром распределения Пуассона, а сама формула выражает “закон редких явлений" (т.к. p мало).

Пример 3. Первый черновой набор “Методических указаний” на 50 страницах содержит 100 опечаток. Какое из событий вероятнее: на наудачу взятой странице нет опечаток, 1 опечатка, 2 опечатки, 3 опечатки?

Вероятность того, что данная опечатка попадет на наудачу взятую страницу равна 1/50 = 0,02, число испытаний (опечаток) n = 100. Поскольку p мало, воспользуемся формулой Пуассона с параметром l= np = 2. Вероятность того, что опечаток нет

(т.к.0! = 1)

Другие вероятности

,

.

Как видим, наибольший коэффициент при е^2 у Р₁₀₀ (1) и Р₁₀₀ (2).

Ответ: наиболее вероятны 1 или 2 опечатки, их вероятность .