Вероятность наступления хотя бы одного события

Сложные события выражаются через другие наблюдаемые события с помощью алгебраических операций, описанных в §2. Основные формулы для вычисления вероятностей таких событий:

Р () = 1  Р (А). (1)

Р (А · В) = Р (А) · Р (В / А) = Р (В) · Р (А / В),

если Р (А) > 0, Р (В) > 0 (формула умножения вероятностей); (2)

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)  Р (А · В)

(формула сложения вероятностей). (3)

Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга ведут стрельбу по мишени, причем вероятности попадания при одном выстреле в мишень для них равны p₁ = 0,8, p₂ = 0,6. Каждый произвел по одному выстрелу. Вычислить вероятность события А = {произойдет ровно одно попадание}.

Рассмотрим события А₁ = {первый стрелок попал в мишень} и А₂ = {второй стрелок попал в мишень}. Тогда = {первый стрелок промахнулся}, a = {второй стрелок промахнулся}. В мишени окажется ровно одна пробоина в тех случаях, когда либо первый попал, а второй промахнулся, либо первый промахнулся, а второй попал. Поэтому А = А₁ · + А₂ · . Последние два события несовместны, поэтому сумма их вероятностей равна вероятности их суммы А. События А₁ и , а также А₂ и попарно независимы, т.е. вероятности произведений этих событий равны соответствующим произведениям вероятностей этих событий. Т.к. Р (А₁) =p₁=0,8, P (A₂) =p₂=0,6, то Р () = 1  p₁ = q₁ = 0,2, P () = 1  p₂ = q₂ = 0,4 и Р (А) = p₁q₂ + p₂q₁ = 0,44. Вероятность наступления “хотя бы одного события" (т.е. суммы нескольких событий) вычисляют по формуле

(4)

Если же эти события попарно независимы, то

Пример 2. В продукции предприятия 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что среди 4 взятых независимо изделий хотя бы одно бракованное?

Пусть А  интересующее нас событие, А = A₁+ A₂+ A₃+ A_4, где A₁ = {первое изделие бракованное}, A₂ = {второе изделие бракованное} и т.д. Так как A₁, A₂, A₃, A₄ независимы, то и события также независимы. Событие = {среди 4 изделий ни одного бракованного} = , где = {первое изделие не бракованное} и т.д. Так как Р (A₁) = Р (A₂) = Р (A₃) = Р (A₄) = 0,1 (=10%), то Р () = (1  0,1) ⁴ = 0,9⁴ = 0,6561. Значит, Р (А) = 1  Р () = 0,3439.

Если изделий не 4, а 2, то вероятность того, что из этих двух изделий хотя бы одно бракованное, можно вычислить с помощью формулы (3), т.е. не переходя к противоположному событию:

P (A₁+A₂) = P (A₁) + P (A₂)  P (A) P (A₂) = 0,1 + 0,1  0,01 = 0, 19.