Формула полной вероятности. Пусть H1, H2,.,Hn  полная группа несовместных событий (определение см

Пусть H₁, H₂,.,H_n  полная группа несовместных событий (определение см. в §2) и пусть событие А может произойти только с одним из событий Н_k. Для такого события А выполняется следующая “формула полной вероятности”

События H_k принято называть гипотезами по отношению к событию А. Вероятности Р (H_k) трактуются как доопытные (априорные) вероятности гипотез.

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела, а затем бросил симметричную монету столько раз, сколько попал в мишень. Какова вероятность, что в результате выпал ровно один “орел”?

Здесь в качестве гипотез рассмотрим события Н₁ = {произошло два попадания}, H₂ = {произошло одно попадание}, H₃ = {произошло два промаха}. Их вероятности Р (Н₁) = 0,8² = 0,64, Р (Н₂) = 2 · (1  0,8) · 0,8 = 0,32 (множитель 2 здесь из-за того, что гипотеза содержит два равновероятных события: “попал - промахнулся" и “промахнулся - попал"  это формула Бернулли при р = 0,8, q = 0,2, n = 2, k = 1  см. §11), Р (Н₃) = (1  0,8) ² = 0,04. Сумма вероятностей этих гипотез равна 1, как и должно быть для полной группы. Далее рассмотрим событие А = {выпал ровно один “орел”}. Если произошло событие Н₁, то монета бросается дважды. Вероятность того, что при этом выпадет ровно 1 “орел”, равна Р (А/ H₁) = 0,5 (либо “орел - решка" с вероятностью 0,25, либо “решка - орел” также с вероятностью 0,25). Если произошло событие Н₂, то монета бросается один раз и вероятность выпадения при этом одного “орла" равна Р (А/H₂) = 0,5. Если же происходит событие Н₃, то монету не бросают и Р (А/H₃) = 0. Все данные для формулы полной вероятности получены. Следовательно,

Р (А) = Р (Н₁) Р (А/H₁) + P (H₂) P (A/H₂) + P (H₃) P (A/H₃) = 0,48.

Пример 2. В ящике лежат 10 теннисных мячей, в том числе 8 новых и 2 играных. Для игры наудачу выбираются два мяча и после игры возвращаются обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

Здесь удобно задать 3 гипотезы: H₁ = {для первой игры взяты 2 новых мяча}, H₂ = {для первой игры взяты новый и играный мячи}, Н₃ = {для первой игры взяты 2 играных мяча}.

Их вероятности вычисляются по формуле классической вероятности (как и в примерах из §4):

; ;

(Проверка: Р (H₁) + Р (H₂) + Р (H₃) = 1).

Событие А = {для второй игры взяты два новых мяча}. В результате осуществления гипотезы H₁ в ящике останется 6 новых и 4 играных мяча, поэтому . В результате осуществления гипотезы H₂ в ящике будет 7 новых мячей из 10, поэтому . Аналогично, . Таким образом,

Заметим, что в одной и той же задаче могут быть выбраны разные наборы гипотез, скажем, в примере 2 гипотезу H₂ можно представить в виде суммы двух: H₂ = {первый взятый для первой игры мяч новый, второй  играный}+{первый взятый для первой игры мяч играный, второй  новый} и т.д. Желательно формулировать гипотезы так, чтобы их вероятности, а также и условные вероятности, вычислялись проще.