Дискретная случайная величина

Случайной величиной называют переменную величину, которая принимает значения, зависящие от исходов испытания (то есть в зависимости от случая).

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z…, а их значения строчными буквами. Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями x₁,x₂,…,x_n этой случайной величины и их вероятностями p₁,p₂,…,р_n. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично, аналитически, графически. При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности.

В одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, значит, события образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: .

Функцией распределения случайной величины Х называется функция действительной переменной х, определяемая равенством

F(x)=P(X x), где Р(Х х)-вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения из полуинтервала [α,β), равна разности значений ее функции распределения F(x) на концах этого полуинтервала: Р(

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

§ 6. Непрерывная случайная величина

Случайная величина, принимающая все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Функция распределения F(x)=P(X x)непрерывной случайной величины является непрерывно дифференцируемой.

Производная от функции распределения непрерывной случайной величины Х называется плотностью распределения вероятностей:

(x)

Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения или неопределенным интегралом от нее. Следовательно, справедливо равенство

Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей устанавливается формулой

F(x)=P(X x)= .

Основные свойства плотности распределения вероятности:

1) f(x)

2)

3) Если все возможные значения случайной величины Х лежат внутри интервала (a,b), то

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;b], равно определенному интегралу

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

Дисперсией непрерывнойслучайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку [a;b], то

Если возможные значения принадлежат всей оси Х, то