Формула полной вероятности. Формула полной вероятности является следствием основных теорем сложения и умножения

Формула полной вероятности является следствием основных теорем сложения и умножения.

Теорема. Пусть событие А может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности . Тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А

Пример. Собирается определенное число собак для таможенной службы из двух питомников. Первый питомник поставляет 60% всех собак для службы на данной границе, второй − 40%. Вероятность предоставления первым питомником собак с хорошим умением равна 0,9, вторым питомником − 0,8. Найти вероятность того, что случайно выбранная из предоставленных собак будет обладать этим умением.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайно выбранная собака обладает хорошим умением акцентироваться на запахах, а через В₁,В₂ –события, состоящие в том, что это собака из первого, второго, соответственно, питомника. Из условия задачи следует, что Р(В₁)=0,6; Р(В₂)=0,4; (А)=0,9; (А)=0,8.

Используя формулу полной вероятности, получаем Р(А)=

Теорема. Пусть событие А может произойти с одним из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Произведем опыт, в результате которого произошло некоторое событие А. Тогда

, i=1,2,…,n.

Эти формулы называют формулами Бейеса.

Пример. Два вуза готовят сотрудников таможни для одной государственной границы. Первый вуз готовит 75% всех сотрудников данной таможни, второй – 25%, Первый вуз выпускает 95% высококвалифицированных кадров, второй – 90%. Выбранный наугад сотрудник этой таможни оказался хорошим специалистом. Найти вероятность того, что он закончил второй вуз.