Если в точке функция имеет конечные односторонние пределы и , но они не равны друг другу, то называется точкой разрыва 1-ого рода

3) В остальных случаях называется точкой разрыва 2 -ого рода.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой его точке (в точке - непрерывна справа, в точке - непрерывна слева). Функция непрерывная на отрезке обладает свойствами: 1) ограничена на ; 2) достигает на отрезке своего наименьшего значения и наибольшего значения ; 3) для любого числа , заключённого между числами и , всегда найдётся точка такая, что ; 4) если , то всегда найдётся точка такая, что .

Тема 6. Производные и дифференциалы функции одной переменной.

Приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента называется выражение .

Производной 1-ого порядка функции в точке называется конечный предел . Геометрический смысл производной состоит в том, что число равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке : , где - угол наклона касательной к оси прямоугольной декартовой системы координат .

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Необходимым условием дифференцируемости в точке является непрерывность функции в данной точке.

Если функция непрерывна в точке и , то говорят, что в точке функция имеет бесконечную производную. В этом случае касательная к графику функции в точке перпендикулярна к оси .

Числа и называются, соответственно левой и правой производными функции в точке . Условие равносильно дифференцируемости функции в точке , при этом .

Любая элементарная функция дифференцируема во всякой внутренней точке естественной области определения функции , в которой аналитическое выражение её производной имеет смысл. Производная , рассматриваемая на множестве тех точек , где она существует, сама является функцией. Операция нахождения производной называется также дифференцированием функции .