Решение. а1)Находим первые частные производные функции :

а1) Находим первые частные производные функции :

;

;

.

а2) Вычисляем значения частных производных в точке :

, ,

а3) Вычисляем направляющие косинусы вектора :

, , , .

а4) Вычисляем значение в точке :

.

б1) Находим значение градиента функции в точке :

.

б2) Вычисляем в точке :

.

Ответ: а) ; б) , .

111–120. Затраты, необходимые для производства единиц данной продукции задаётся функцией издержек . Продукция реализуется по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции. Требуется найти: а) оптимальное значение выпуска продукции, при котором производитель получит максимальную прибыль; б) средние значения издержек производства и прибыли при ; в) эластичностьиздержек производства и прибылипри . Сделать выводы.

Прибыль, получаемая производителем при выпуске единиц данной продукции, задаётся функцией , где - выручка от реализации единиц данной продукции по фиксированной цене (ден.ед.) за единицу продукции, -функция издержек.

Средними издержками называют величину (издержки в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции), а средней прибылью – величину (прибыль в расчёте на 1 ед. выпускаемой продукции).

Эластичностью издержек называют величину (показывает приближённый процентный прирост издержек при изменении на 1%), а эластичностью прибыли – (показывает приближённый процентный прирост прибыли при изменении на 1%).