Теорема Муавра-Лапласа и асимптотика биномиального распределения

Для биномиального распределения вероятностей существует предельное (при ) распределение и это распределение является нормальным.

Значение этой теоремы определяется тем, что при больших n расчет по формуле Бернулли

становится практически невозможным, особенно когда надо вычислять вероятности не отдельного равенства (события) , а неравенств вида .

По теореме Муавра-Лапласа следует, что:

,

где

,

- плотность стандартного нормального распределения (приложение 1).

А вероятность сложного события вычисляется как:

,

где - функция Лапласа (приложение 2),

, .

В частности, по теореме Муавра-Лапласа можно оценить отклонение относительной частоты появления события A от вероятности в n независимых испытаниях:

.

№ 158. Вероятность появления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) ровно 75 раз; б) не менее 50 раз, но не более 85 раз.

Решение. а) Применим формулу

где

По таблице (приложение 1) находим

.

Следовательно,

.

б) Применим формулу:

,

где ,

Следовательно,

.

Ответ: а) 0,04565; б) 0,8944.

№ 159. Страховая компания заключила 1500 договоров краткосрочного (сроком на 1 год) страхования жизни, согласно которым она выплачивает 10 000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего в противном случае. Найти величину индивидуального страхового взноса, обеспечивающего вероятность не разорения компании в 95%. Предполагается, что вероятность смерти, каждого из застрахованных в течение года, постоянна и равна 0,005.

Решение. Будем считать индивидуальные иски , :

	0,995	0,005

к страховой компании независимыми, так как вероятность смерти каждого застрахованного одна и та же. То есть, исключаем экстремальные ситуации (эпидемии, землетрясения и т.д.). Тогда суммарный иск к страховой компании

будет иметь асимптотически нормальное распределение с параметрами:

руб.,

руб.

Следовательно, капитал компании (сумма страховых взносов), обеспечивающая ей вероятность неразорения в 95% будет вычисляться из условия:

,

или

Воспользовавшись приложением № 2, получаем

руб.

Таким образом, индивидуальный страховой взнос, обозначаемый как будет равен:

руб.

Ответ: 79,96 руб.

№ 160. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется не прошедших проверку ОТК: а) ровно 85 деталей; б) не менее 70, но не более 95 деталей.

№ 161. Решите № 152 по теореме Муавра-Лапласа и сравните полученные результаты.

№ 162. Решите № 156 по теореме Муавра-Лапласа и сравните полученные результаты.

№ 163. При установившемся технологическом процессе вероятность изготовления бракованных гильз равна 0,05. Для обоснования введения автоматического контроля необходимо определить количество гильз n, которое нужно направлять на контроль, чтобы с вероятностью 0,95 быть уверенным в стабильности технологического процесса, если допускается: а)7% брака; б) 10% брака. Проанализируйте результаты.

№ 164. Накануне референдумабыло принято решение о проведении социологического опроса. Примерное распределение голосов было известно – около 20% воздержавшихся, остальные примерно поровну “за” и ”против”. Сколько человек надо опросить, чтобы гарантировать отклонение числа ответивших “за” от истинного значения не более чем на 4%, с надежностью в: а) 95%; б) 99%. Проанализируйте результаты.

№ 165. Страховая компания заключила 1000 договоров краткосрочного страхования жизни, согласно которым она выплачивает 15000 руб. в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего в противном случае. Найти величину индивидуального страхового взноса, обеспечивающего вероятность не разорения компании в а) 95 %; б) 99 %. Предполагается, что вероятность смерти, каждого из застрахованных в течение года, постоянна и равна 0,004.

Г Л А В А VI

Ц Е П И М А Р К О В А

Цепью Маркова называется последовательность испытаний, в каждом из которых система принимает только одно из n состояний полной группы, причем условная вероятность того, что в - ом испытании система будет находиться в состоянии при условии, что после - го испытания она находилась в состоянии , не зависит от результатов ранее проведенных испытаний.

Если вероятности не зависят от номера испытания k, то цепь Маркованазывается однородной, а вероятности называются переходными вероятностями.

Матрицей перехода системы называется матрица, составленная из переходных вероятностей вида

.

Здесь сумма вероятностей по строкам равна 1.

Зная матрицу перехода системы из состояния в состояние за один шаг, можно найти матрицу перехода из состояния в состояние за k шагов по формуле:

.

Если - вектор вероятностей состояний на k -ом шаге , то

,

или

.

№ 166. З адана матрица перехода системы

.

Найти матрицы перехода и .

Решение.

,

.

№ 165. Пусть начальный вектор вероятностей состояний цепи Маркова равен . В условиях № 164 найти векторы вероятностей состояний на 1-м, 2-м и 3-м шагах.

Решение.

,

,

.

Из этих примеров видно, что для некоторых цепей Маркова с увеличением номера испытания k, вектор вероятностей состояний изменяется незначительно, и влияние начального вектора состояний становится ничтожно малым. Такие цепи Маркова называются эргодическими.

В этом случае вектор состояний , при , будет вычисляться по формуле:

,

или в виде системы уравнений:

№. 168. Найти вектор предельных вероятностей в условиях № 166.

Решение. Для вычисления вектора предельных вероятностей составим систему уравнений

решив которую, получаем

.

Сравнение с из № 167 показывает, что действительно вектор вероятностей состояний меняется мало.

№ 169. Зная и , найти , , , , , .

№ 170. Завод выпускает телевизоры определенной марки. В зависимости от того, находит ли данный тип телевизора спрос у населения, завод может в конце года находится в одном из двух состояний: – спрос есть, – спроса нет. С течением времени спрос изменяется, так что имеется вероятность 0,8 того, что в конце года завод останется в состоянии . С другой стороны, если завод оказался в состоянии , то принимаются меры к улучшению качества выпускаемой модели, так что с вероятностью 0,6 к концу следующего года завод перейдет в состояние .определить динамику изменения вектора состояний завода, если в начальный момент времени он находился в состоянии: а) ; б) .

№ 171. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В с вероятностью 0,5, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 0,375. Рассматриваются результаты серии выстрелов. Найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются: - оба корабля в строю, - в строю корабль А, - в строю корабль В, - оба корабля поражены.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

№ 1. Брошены две игральные кости. Найти вероятности того, что сумма выпавших очков: а) равна k₁; б) равна k₁, а разность k₂; в) равна k₁, если известно, что их разность равна k₂; г) равна k₁, а произведение - k₃; д) не менее k₄.

1.1. k₁=5, k₂=2, k₃=6, k₄=9.

1.2. k₁=6, k₂=3, k₃=5, k₄=10.

1.3. k₁=7, k₂=3, k₃=10, k₄=11.

1.4. k₁=8, k₂=4, k₃=12, k₄=9.

1.5. k₁=9, k₂=4, k₃=8, k₄=10.

1.6. k₁=10, k₂=5, k₃=25, k₄=11.

1.7. k₁=6, k₂=2, k₃=6, k₄=9.

1.8. k₁=7, k₂=2, k₃=12, k₄=10.

1.9. k₁=8, k₂=3, k₃=16, k₄=11.

1.10. k₁=9, k₂=3, k₃=20, k₄=9.

№ 2. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди них l выигрышных.

2.1. n=10, k=3, m=5, l =2. 2.6. n=10, k=4, m=5, l =4.

2.2. n=11, k=4, m=6, l =3. 2.7. n=11, k=5, m=6, l =2.

2.3. n=12, k=5, m=5, l =4. 2.8. n=12, k=6, m=5, l =3.

2.4. n=13, k=6, m=5, l =3. 2.9. n=13, k=7, m=6, l =4.

2.5. n=15, k=7, m=6, l =2. 2.10. n=14, k=4, m=5, l =2.

№ 3. Моменты начала двух событий наудачу распределены в промежутке времени от T₁ до T₂ (час.). Одно из событий длится 10 мин., другое - t мин. Определить вероятность того, что: а) события “перекрываются” по времени; б) “не перекрываются” по времени.

3.1. T₁=9, T₂=10, t=20. 3.6. T₁=14, T₂=16, t=10.

3.2. T₁=10, T₂=11,5, t=15. 3.7. T₁=15, T₂=16,5, t=15.

3.3. T₁=11, T₂=13, t=10. 3.8. T₁=8, T₂=9, t=20.

3.4. T₁=12, T₂=14,5, t=5. 3.9. T₁=7, T₂=7,5, t=25.

3.5. T₁=13, T₂=16, t=5. 3.10. T₁=6, T₂=9,5, t=30.

№ 4. Курс акций каждого из двух предприятий возрастает на 10 пунктов с вероятностью p₁ и убывает на 10 пунктов с вероятностью p₂. Каковы вероятности выигрыша и проигрыша при покупке двух акций различных предприятий.

4.1. p₁=0,30, p₂=0,25. 4.6. p₁=0,15, p₂=0,25.

4.2. p₁=0,25, p₂=0,20. 4.7. p₁=0,20, p₂=0,30.

4.3. p₁=0,20, p₂=0,15. 4.8. p₁=0,25, p₂=0,10.

4.4. p₁=0,15, p₂=0,10. 4.9. p₁=0,30, p₂=0,15.

4.5. p₁=0,10, p₂=0,20. 4.10. p₁=0,10, p₂=0,30.

№ 5. Стрелок производит n выстрелов по удаляющейся цели, причем вероятность поражения цели первым выстрелом равна p₁, а при каждом следующем выстреле уменьшается на p₂. Найти вероятность того, что: а) цель будет поражена только k-м выстрелом; б) цель будет поражена.

5.1. n=4, p₁=0,7, p₂=0,1, k=2.

5.2. n=3, p₁=0,6, p₂=0,2, k=3.

5.3. n=4, p₁=0,8, p₂=0,2, k=3.

5.4. n=3, p₁=0,9, p₂=0,1, k=2.

5.5. n=4, p₁=0,6, p₂=0,1, k=4.

5.6. n=3, p₁=0,7, p₂=0,2, k=3.

5.7. n=4, p₁=0,8, p₂=0,2, k=2.

5.8. n=3, p₁=0,8, p₂=0,1, k=4.

5.9. n=4, p₁=0,9, p₂ =0,2, k=3.

5.10. n=3, p₁=0,5, p₂=0,2, k=2.

№ 6. По оценкам экспертов вероятности банкротства для выделенных трех предприятий, производящих однотипную продукцию, равны p₁, p₂ и p₃. Найти вероятность банкротства: а) только одного предприятия; б) не менее двух предприятий; в) хотя бы одного предприятия.

6.1. p₁=0,10, p₂=0,15, p₃=0,20.

6.2. p₁=0,15, p₂=0,10, p₃=0,05.

6.3. p₁=0,20, p₂=0,15, p₃=0,20.

6.4. p₁=0,05, p₂=0,10, p₃=0,25.

6.5. p₁=0,10, p₂=0,05, p₃=0,10.

6.6. p₁=0,15, p₂=0,05, p₃=0,15.

6.7. p₁=0,20, p₂=0,10, p₃=0,05.

6.8. p₁=0,25, p₂=0,20, p₃=0,10.

6.9. p₁=0,10, p₂=0,25, p₃=0,15.

6.10. p₁=0,05, p₂=0,30, p₃=0,05.

№ 7. a₁% рабочих не выполняют норму выработки, a₂% рабочих выполняют норму выработки до 110%, a₃% рабочих выполняют норму выработки более, чем на 110%. Определить вероятность того, что: а) взятый наудачу рабочий выполняет или перевыполняет норму выработки; б) три наудачу взятых рабочтх выполняют или перевыполняют норму выработки; в) хотя бы один из трех рабочих не выполняет норму выработки.

7.1. a₁=20%, а₂=45%, а₃=35%.

7.2. а₁=25%, а₂=40%, а₃=35%.

7.3. а₁=30%, а₂=35%, а₃=35%.

7.4. а₁=35%, а₂=50%, а₃=15%.

7.5. а₁=40%, а₂=45%, а₃=15%.

7.6. а₁=20%, а₂=40%, а₃=40%.

7.7. а₁=25%, а₂=35%, а₃=40%.

7.8. а₁=30%, а₂=30%, а₃=40%.

7.9. а₁=35%, а₂=40%, а₃=25%.

7.10. а₁=40%, а₂=35%, а₃=25%.

№ 8. Вероятность появления брака на первом станке равна р₁, на втором - р₂, на третьем - р₃. Производительность первого станка в k раз больше, чем второго, а производительность третьего станка в l раз больше, чем первого. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется бракованной. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

8.1. p₁=0,010, p₂=0,020, p₃=0,030, k=2, l =2.

8.2. p₁=0,015, p₂=0,015, p₃=0,025, k=3, l =5.

8.3. p₁=0,020, p₂=0,010, p₃=0,020, k=4, l =3.

8.4. p₁=0,025, p₂=0,030, p₃=0,015, k=2, l =4.

8.5. p₁=0,030, p₂=0,025, p₃=0,010, k=3, l =2.

8.6. p₁=0,025, p₂=0,020, p₃=0,010, k=4, l =3.

8.7. p₁=0,020, p₂=0,015, p₃=0,015, k=5, l =4.

8.8. p₁=0,015, p₂=0,010, p₃=0,020, k=2, l =5.

8.9. p₁=0,010, p₂=0,030, p₃=0,025, k=3, l =3.

8.10. p₁=0,030, p₂=0,025, p₃=0,030, k=4, l =2.

№ 9. В первой урне n₁ белых и m₁ черных шаров, во второй n₂ белых и m₂ черных шаров. Из первой урны во вторую переложено k шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что этот шар белый.

9.1. n₁=5, m₁=2, n₂=6, m₂=3, k=3.

9.2. n₁=6, m₁=3, n₂=7, m₂=2, k=2.

9.3. n₁=7, m₁=2, n₂=8, m₂=3, k=3.

9.4. n₁=8, m₁=3, n₂=9, m₂=2, k=2.

9.5. n₁=9, m₁=2, n₂=5, m₂=3, k=3.

9.6. n₁=5, m₁=3, n₂=6, m₂=2, k=2.

9.7. n₁=6, m₁=2, n₂=7, m₂=3, k=3.

9.8. n₁=7, m₁=3, n₂=8, m₂=2, k=2.

9.9. n₁=8, m₁=2, n₂=9, m₂=3, k=3.

9.10. n₁=9, m₁=3, n₂=5, m₂=2, k=2.

№ 10. Вероятность того, что кредит размером до 10 млн. руб. не будет возвращен, равна р₁, для кредита размером свыше 10 млн.руб. эта вероятность равна р₂. Банк выдал n₁ кредитов в 5 млн.руб. и n₂ кредитов в 20 млн.руб. Составить закон распределения случайной величины – числа невозвращенных кредитов из этих выданных. Найти наивероятнейшее число невозвращенных кредитов.

10.1. p₁=0,10, p₂=0,15, n₁=1, n₂=2.

10.2. p₁=0,05, p₂=0,20, n₁=2, n₂=1.

10.3. p₁=0,15, p₂=0,10, n₁=1, n₂=2.

10.4. p₁=0,20, p₂=0,05, n₁=2, n₂=1.

10.5. p₁=0,10, p₂=0,20, n₁=1, n₂=2.

10.6. p₁=0,05, p₂=0,10, n₁=2, n₂=1.

10.7. p₁=0,15, p₂=0,05, n₁=1, n₂=2.

10.8. p₁=0,20, p₂=0,15, n₁=2, n₂=1.

10.9. p₁=0.10, p₂=0,05, n₁=1, n₂=2.

10.10. p₁=0,05, p₂=0,15, n₁=2, n₂=1.

№ 11. Из n экзаменационных вопросов студент подготовил k вопросов. Составить закон распределения случайной величины - числа подготовленных вопросов среди трех вопросов экзаменационного билета. Найти наивероятнейшее число подготовленных вопросов билета.

11.1. n=40, k=25. 11.6. n=50, k=35.

11.2. n=50, k=30. 11.7. n=60, k=40.

11.3. n=60, k=35. 11.8. n=30, k=25.

11.4. n=30, k=20. 11.9. n=40, k=30.

11.5. n=40, k=35. 11.10. n=50, k=45.

№ 12. При производстве некоторого изделия вероятность брака равна р. В этом случае предприятие терпит убыток в k₁ тыс.руб. При изготовлении не бракованного изделия прибыль составляет k₂ тыс.руб. Составить закон распределения случайной величины - прибыли предприятия, если изготовлено четыре изделия.

12.1. p=0,20, k₁=40, k₂=10.

12.2. p=0,25, k₁=45, k₂=15.

12.3. p=0,30, k₁=50, k₂=20.

12.4. p=0,15, k₁=55, k₂=25.

12.5. p=0,10, k₁=60, k₂=15.

12.6. p=0,05, k₁=65, k₂=10.

12.7. p=0,20, k₁=70, k₂=20.

12.8. p=0,25, k₁=75, k₂=25.

12.9. p=0,15, k₁=80, k₂=35.

12.10. p=0,10, k₁=85, k₂=30.

№ 13. Некоторая компания имеет сеть дилеров на бирже. Вероятность того, что дилер будет играть удачно равна р. Найти вероятность того, что из n дилеров окажутся в убытке: а) ровно k дилеров; б) не менее k₁ дилеров; в) не более k₂ дилеров.

13.1. p=0,7, n=5, k=2, k₁=3, k₂=2.

13.2. p=0,8, n=4, k=3, k₁=3, k₂=2.

13.3. p=0,9, n=8, k=5, k₁=2, k₂=2.

13.4. p=0,6, n=6, k=4, k₁=5, k₂=3.

13.5. p=0,7, n=7, k=5, k₁=6, k₂=3.

13.6. p=0,8, n=8, k=6, k₁=7, k₂=3.

13.7. p=0,9, n=6, k=3, k₁=4, k₂=2.

13.8. p=0,6, n=5, k=3, k₁=4, k₂=3.

13.9. p=0,7, n=8, k=5, k₁=6, k₂=2.

13.10. p=0,8, n=7, k=4, k₁=5, k₂=2.

№ 14. В среднем a% студентов группы сдают зачет с первого раза. Найти вероятность того, что из n человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут: а) ровно k студентов; б) не менее k₁ студентов; в) не более k₂ студентов.

14.1. a=60%, n=9, k=8, k₁=7, k₂=6.

14.2. а=65%, n=6, k=5, k₁=4, k₂=3.

14.3. а=70%, n=8, k=7, k₁=6, k₂=5.

14.4. а=75%, n=7, k=6, k₁=5, k₂=4.

14.5. а=80%, n=9, k=8, k₁=7, k₂=6.

14.6. а=85%, n=6, k=5, k₁=4, k₂=3.

14.7. а=90%, n=8, k=7, k₁=6, k₂=5.

14.8. а=85%, n=7, k=6, k₁=5, k₂=4.

14.9. а= 80%, n=9, k=8, k₁=7, k₂=6.

14.10. а=75%, n=6, k=5, k₁=4, k₂=3.

№ 15. Вероятность того, что 100-долларовая купюра фальшивая равна р. Найти вероятность того, что из n купюр: а) ровно k фальшивых купюр; б) не менее k₁ фальшивых купюр; в) хотя бы одна купюра фальшивая.

15.1. p=0,01, n=100, k=2, k₁=3.

15.2. p=0,02, n=200, k=5, k₁=2.

15.3. p=0,03, n=100, k=4, k₁=1.

15.4. p=0,04, n=200, k=7, k₁=2.

15.5. p=0,05, n=100, k=6, k₁=3.

15.6. p=0,01, n=200, k=1, k₁=1.

15.7. p=0,02, n=100, k=3, k₁=1.

15.8. p=0,03, n=200, k=9, k₁=2.

15.9. p=0,04, n=100, k=8, k₁=3.

15.10. p=0,05, n=200, k=7, k₁=2.

№ 16. Семена содержат 0,1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе из n семян обнаружить: а) ровно k семян сорняков;
б) не менее k₁ семян сорняков.

16.1. n=4000, k=5, k₁=3. 16.6. n=4000, k=2, k₁=2.

16.2. n=3000, k=6, k₁=2. 16.7. n=3000, k=3, k₁=3.

16.3. n=2000, k=4, k₁=3. 16.8. n=2000, k=4, k₁=2.

16.4. n=1000, k=3, k₁=2. 16.9. n=1000, k=6, k₁=3.

16.5. n=5000, k=2, k₁=3. 16.10. n=5000, k=5, k₁=2.

№ 17.1-17.3. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за
1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин прибудут:
а) ровно k самолетов; б) менее k₁ самолетов; в) не менее k₂ самолетов.

17.1. k=2, k₁=2, k₂=2. 17.3 k=4, k₁=2, k₂=3.

17.2. k=3, k₁=3, k₂=2.

№ 17.4-17.6. Среднее число кораблей, заходящих в порт за 1 час, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 часа в порт зайдут:
а) ровно k кораблей; б) менее k₁ кораблей; в) не менее k₂ кораблей.

17.4. k=4, k₁=4, k₂=4. 17.6. k=4, k₁=4, k₂=5.

17.5. k=5, k₁=5, k₂=4.

№ 17.7-17.10. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за четыре минуты поступит: а) ровно k вызовов; б) менее k₁ вызовов; в) не менее k₂ вызовов.

17.7. k=3, k₁=4, k₂=4. 17.9. k=3, k₁=4, k₂=3.

17.8. k=4, k₁=3, k₂=4. 17.10. k=4, k₁=3, k₂=3.

№ 18. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию; в) среднее квадратическое отклонение; г) функцию распределения вероятностей и построить ее график.

18.1.	X						18.2	X
	p	0,4	0,3	0,2	0,1			p	0,3	0,4	0,2	0,1

18.3.	X						18.4.	X
	p	0,2	0,2	0,1	0,5			p	0,6	0,1	0,1	0,2

18.5.	X						18.6.	X
	p	0,4	0,4	0,1	0,1			p	0,2	0,1	0,1	0,6

18.7.	X						18.7.	X
	p	0,2	0,3	0,2	0,3			p	0,7	0,1	0,1	0,1

18.9.	X						18.10.	X
	p	0,3		0,1	0,3			p	0,2	0,4	0,1	0,3

№ 19. Задана дискретная двумерная случайная величина (X, Y). Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условные математические ожидания M(Y|X=x₁) и M(X|Y=y₂).

19.1.	X Y				19.2.	X Y
		0,10	0,15			-1	0,05	0,15
		0,20	0,10				0,10	0,25
		0,30	0,15				0,35	0,10

19.3.	X Y				19.4.	X Y
		0,10	0,35				0,25	0,40
		0,15	0,05				0,05	0,05
		0,20	0,15				0,10	0,15
19.5.	X Y				19.6.	X Y
		0,30	0,05				0,15	0,30
		0,25	0,10				0,20	0,05
		0,20	0,10				0,25	0,05

19.7.	X Y	-1			19.8.	X Y	-1
	-2	0,10	0,25			-1	0,50	0,05
	-1	0,15	0,25				0,10	0,15
		0,05	0,20				0,05	0,15

19.9.	X Y				19.10.	X Y
		0,05	0,30				0,15	0,25
		0,25	0,15				0,20	0,10
		0,10	0,15				0,10	0,20

№ 20. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения вероятностей F(х). Требуется: а) найти плотность распределения вероятностей р(х); б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; в) вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b); г) построить графики функции распределения F(х) и плотности распределения р(х).

20.1. 20.2.

20.3. 20.4.

20.5. 20.6.

20.7. 20.8.

20.9. 20.10.

№ 21. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распределена по показательному закону: для первого элемента ; для второго ; для третьего - . Найти вероятности того, что в интервале времени (0, Т) откажут: а) все три элемента; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент; г) не менее одного элемента.

21.1. l₁=0,01, l₂=0,02, l₂=0,10, Т=2.

21.2. l₁=0,02, l₂=0,03, l₃=0,04, Т=3.

21.3. l₁=0,03, l₂=0,01, l₃=0,05, Т=4.

21.4. l₁=0,04, l₂=0,04, l₃=0,06, Т=5.

21.5. l₁=0,05, l₂=0,06, l₃=0,07, Т=1.

21.6. l₁=0,06, l₂=0,05, l₃=0,02, Т=5.

21.7. l₁=0,07, l₂=0,08, l₃=0,03, Т=4.

21.8. l₁=0,08, l₂=0,10, l₃=0,09, Т=3.

21.9. l₁=0,09, l₂=0,09, l₃=0,08, Т=2.

21.10. l₁=0,10, l₂=0,07, l₃=0,01, Т=1.

№ 22. Детали, выпускаемые цехом, по размеру диаметра распределены по нормальному закону. Стандартная длина детали равна а мм, среднее квадратическое отклонение - s мм. Найти вероятность того, что: а) диаметр наудачу взятой детали больше a мм и меньше b мм; б) диаметр детали отклонится от стандартной длины не более, чем на d мм.

22.1. а=50, s=4, a=48, b=54, d=2.

22.2. а=45, s=3, a=42, b=46, d=3.

22.3. а=40, s=2, a=39, b=43, d=2,5.

22.4. а=35, s=2, a=33, b=36, d=3.

22.5. а=30, s=3, a=27, b=32, d=2.

22.6. а=25, s=3, a=22, b=27, d=2,5.

22.7. а=20, s=4, a=17, b=22, d=2.

22.8. а=55, s=5, a=54, b=58, d=3.

22.9. а=60, s=5, a=56, b=62, d=2,5.

22.10. а=65, s=6, a=63, b=66, d=3.

№ 23. Средняя масса плодов в одном ящике равна а кг, а среднее квадратическое отклонение в массе плодов одного ящика равно s кг. В магазин поступило n ящиков. Приняв во внимание, что масса плодов в одном ящике – нормально распределенная случайная величина, найти:
а) вероятность того, что масса плодов в n ящиках окажется не менее m кг;
б) наибольшее значение, которое с вероятностью р не превзойдет масса n ящиков плодов.

23.1. a=10, n=200, s=1,5, m=1920, p=0,99.

23.2. a=15, n=100, s=2, m=1450, p=0,98.

23.3. a=20, n=150, s=2,5, m=2960, p=0,97.

23.4. a=10, n=150, s=1, m=1440, p=0,96.

23.5. a=15, n=200, s=1,5, m=2920, p=0,95.

23.6. a=20, n=100, s=2, m=1980, p=0,94.

23.7. a=10, n=100, s=2, m=970, p=0,93.

23.8. a=15, n=150, s=1, m=2240, p=0,92.

23.9. a=20, n=200, s=1,5, m=3990, p=0,91.

23.10. a=10, n=250, s=0,5, m=2490, p=0,90.

№ 24. Даны две независимые случайные величины X и Y. Найти законы распределения случайных величин и , и проверить свойства математических ожиданий , .

24.1.	X					Y
	p	0,2	0,6	0,2		g	0,1	0,5	0,4

24.2.	X					Y
	p	0,3	0,3	0,4		g	0,4	0,2	0,4
24.3.	X					Y
	p	0,7	0,2	0,1		g	0,3	0,5	0,2

24.4.	X					Y
	p	0,5	0,3	0,2		g	0,2	0,6	0,2

24.5.	X					Y
	p	0,4	0,5	0,1		g	0,5	0,3	0,2

24.6.	X					Y
	p	0,2	0,3	0,5		g	0,1	0,3	0,6

24.7.	X					Y
	p	0,3	0,3	0,4		g	0,5	0,1	0,4

24.8.	X					Y
	p	0,3	0,6	0,1		g	0,8	0,1	0,1

24.9.	X					Y
	p	0,4	0,4	0,2		g	0,5	0,4	0,1

24.10	X					Y
	p	0,2	0,2	0,6		g	0,3	0,1	0,6

№ 25.1-25.5. В осветительную сеть включено параллельно n лампочек. Вероятность того, что за время t лампа будет включена равна р. Пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что число включенных ламп будет заключено в пределах от k₁ до k₂.

25.1. n=100, p=0,8, k₁=75, k₂=85.

25.2. n=90, p=0,7, k₁=60, k₂=66.

25.3. n=80, p=0,8, k₁=60, k₂=68.

25.4. n=70, p=0,7, k₁=47, k₂=51.

25.5. n=60, p=0,9, k₁=51, k₂=57.

№ 25.6-25.10. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет а%. Оценить снизу вероятность того, что при просмотре партии в n пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше, чем на b%.

25.6. а=3%, n=1000, b=2%. 25.9. а=8%, n=250, b=5%.

25.7. а=4%, n=500, b=3%. 25.10. а=2%, n=1500, b=1%.

25.8. а=5%, n=400, b=4%.

№ 26. Завод сортовых семян выпускает гибридные семена кукурузы. Известно, что семена первого сорта составляют а%. Определить вероятность того, что из взятых наудачу n семян: а) ровно k семян будет первого сорта; б) будет не менее k₁, но не более k₂ семян первого сорта.

26.1. а=90%, n=200, k=160, k₁=170, k₂=185.

26.2. а=80%, n=250, k=190, k₁=190, k₂=250.

26.3. а=70%, n=300, k=200, k₁=200, k₂=215.

26.4. а=75%, n=350, k=220, k₁=250, k₂=270.

26.5. а=85%, n=400, k=330, k₁=340, k₂=365.

26.6. а=95%, n=200, k=180, k₁=185, k₂=195.

26.7. а=90%, n=250, k=220, k₁=215, k₂=250.

26.8. а=80%, n=300, k=250, k₁=235, k₂=255.

26.9. а=85%, n=350, k=320, k₁=290, k₂=310.

26.10. а=75%, n=400, k=310, k₁=280, k₂=305.

№ 27. Пусть имеются три конкурирующих изделия , и . Для определения спроса на эти изделия произведен в некоторый начальный момент опрос человек. Оказалось, что изделие покупают человек, - , а - человек. Предположим, что поведение покупателей в каждый следующий месяц обусловлено только их поведением в предыдущий месяц.

По истечении месяца оказалось, что из человек, покупавших изделие , человек продолжают его покупать, человека стали покупать изделие и - изделие .

Из человек, покупавших изделие , человек продолжают его покупать, - стали покупать изделие , а - изделие .

Из человек, покупавших изделие , человек продолжают его покупать, - стали покупать изделие , а - изделие .

Определить, какое изделие будет пользоваться наибольшим спросом: а) через 1 месяц; б) через 2 месяца; в) через 3 месяца; г) по истечении достаточно продолжительного периода.