Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Если дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей вида:
то математическое ожидание величины вычисляется по формуле
.
Математическое ожидание случайной величины служит характеристикой среднего значения величины X. В задачах принятия решений математическое ожидание, например, характеризует доходность инвестиционного проекта.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
,
или
.
Дисперсию удобно вычислять по формулам:
,
или
.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют корень квадратный из дисперсии:
.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют рассеивание возможных значений случайной величины вокруг ее математического ожидания (среднего значения). В задачах принятия решений среднее квадратическое отклонение служит мерой риска.
№ 70. Задан закон распределения дискретной случайной величины X.
0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,2 |
Найти: а) математическое ожидание ; б) дисперсию и среднее квадратическое отклонение .
Решение.
а) Математическое ожидание вычислим по формуле:
.
Следовательно,
.
б) Дисперсию вычислим по формуле
.
Следовательно,
.
И среднее квадратическое отклонение равно:
.
Ответ: .
№ 71. В условиях задачи № 61 найти: условные математические ожидания составляющие при , и Y при .
Решение. ,
.
Ответ: 2,8; 5.
Понятие математического ожидания широко используется в микроэкономике при принятии решений в условиях неопределенности, с использованием понятия ожидаемой полезности инвестора или лица, принимающего решение (ЛПР). Рассмотрим в качестве иллюстрации следующий пример.
№ 72. Пусть ЛПР с функцией полезности обладает начальным капиталом в 10000 руб.
1. ЛПР может принять участие в игре, в которой он с вероятностью 0,5 может выиграть или проиграть 2000 руб. Имеет ли ему смысл покупать страховой полис, устраняющий риск, за 500 руб., или не играть.
2. ЛПР рискнул, принял участие в игре и проиграл. Следует ли ему снова принять участие в игре, или застраховать свой риск на прежних условиях.
Решение. 1. Закон распределения вероятностей капитала ЛПР при участии в игре без страховки имеет вид:
0,5 | 0,5 |
Тогда полезность такого решения будет равна
ют.
При покупке страхового полиса закон распределения вероятностей капитала ЛПР имеет вид:
0,5 | 0,5 |
с полезностью
ют.
Если вычислить первоначальную полезность ЛПР:
ют.,
то можно сделать вывод о том, что ЛПР следует играть, застраховав свой риск, а без страховки лучше и не играть.
2.После проигрыша капитал ЛПР составит 8000 руб., поэтому его участие в игре второй раз будет иметь следующую полезность:
а) без страховки
ют.;
б) со страховкой
ют.
Если вычислить полезность ЛПР после первого проигрыша
ют.,
то можно сделать вывод о том, что ЛПР может играть и во второй раз, если полностью застрахует свой риск.
№ 73 - 74. Задан закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Найти числовые характеристики.
№ 73. № 74.
0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
№ 75. Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины : , , , а так же известны , . Найти вероятности, соответствующие возможным значениям X.
№ 76. Проводятся многократные испытания некоторого элемента на надежность до тех пор, пока элемент не откажет. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной величины – числа испытаний, которое надо провести. Вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,2.
№ 77. В условиях задачи № 68 найти условные математические ожидания составляющей .
№ 78. В условиях задачи № 69 найти условные математические ожидания составляющей .
№ 79. Дано следующее состояние рынка ценных бумаг трех видов :
Состояние рынка () | Вероятность | Доходность ценных бумаг (в %) | ||
(хорошее) | 0,5 | |||
(среднее) | 0,3 | |||
(плохое) | 0,2 | -5 | -10 | -20 |
Определить, какая из ценных бумаг является: а) наиболее доходной; б) наименее рисковой.
№ 80. Летом цена угля за 1 т равна 6 у.е. и у Вас есть место для хранения 6 т угля. Весь уголь, который не будет использован в течение зимы, пропадет. Данные о потребности и ценах на уголь в зимний период приведены в следующей таблице:
Зима | Вероятности | Потребность угля (т) | Средняя цена за 1 т (у.е.) |
мягкая | 0,35 | ||
обычная | 0,5 | 7,5 | |
холодная | 0,15 |
Сколько угля Вам следует закупить летом?
№ 81. В условиях № 72 найдите максимальную сумму, которую может заплатить ЛПР за страховку как в первом, так и во втором случаях.
№ 82. Пусть функция полезностиинвестора имеет вид:
.
Инвестор может вложить в некоторый проект 25000 руб. и считает, что с одинаковой вероятностью может получить прибыль в 30000 руб., или потерять все. Определите: а) следует ли осуществлять инвестирование проекта; б) какова ожидаемая полезность инвестирования.
Дата публикования: 2015-01-10; Прочитано: 490 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!