Дополнительные задачи по курсу теории вероятностей

1. На гору ведут 8 дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору по одной дороге, а спуститься по другой?

2. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей на 10 стульев, стоящих в один ряд?

3. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей на 10 стульев, стоящих в один ряд так, чтобы три определенных лица оказались сидящими рядом?

4. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей на 10 стульев, стоящих за круглым столом?

5. Сколькими способами можно отобрать команду в 5 человек среди 10 спортсменов?

6. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

7. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

8. На полку наудачу ставят четырехтомное собрание сочинений М. Ю. Лермонтова. Какова вероятность того, что в начале будет стоять первый том, а в конце – четвертый.

9. Чему равна вероятность того, что два лица А и В окажутся рядом, если они рассаживаются наудачу вместе с 8 остальными произвольным образом:

1) в ряд из 10 мест;

2) за круглым 10-местным столом?

10. В урне красных шаров в 5 раз меньше, чем голубых. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?

11. В ящике 5 голубых и 10 красных шаров. Наугад выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.

12. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных шара?

13. Некто купил карточку лотереи «Спортлото 6 из 49» и отметил 6 номеров. Найти вероятности событий:

а) угаданы все 6 номеров;

б) угадан хотя бы один номер.

14. В партии 100 изделий, из которых 4 – бракованных. Партия произвольно разделена на две равные части, которые отправлены двум потребителям. Какова вероятность, что все бракованные изделия достанутся одному потребителю?

15. Из цифр 1, 2, 3, 5 наудачу составляется четырехзначное число. Какова вероятность, что это число больше 5000?

16. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало пять очков. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

17. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?

18. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий такова: . Какова вероятность, что при одном залпе из всех этих орудий будет только одно попадание? Какова вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий?

19. В лотерее разыгрывается 100 билетов. Выигрыш падает на 10 билетов. Некто купил 3 билета. Какова вероятность того, что хотя бы один из них выиграет?

20. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая – 25%, третья – 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1%, 3%. Найдите вероятность того, что случайно выбранный болт оказался стандартным.

21. В урне 7 белых и 3 черных шара. Наудачу взяли 2 шара. Затем достали третий шар. Какова вероятность, что этот шар черный?

22. В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в соотношении 1:5:3. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 95, 88 и 90% случаев. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

23. В оружейной пирамиде составлено 50 единиц стрелкового оружия: автоматы, винтовки с оптическим прицелом, карабины. При этом автоматов 10 единиц, а карабинов 60% всего оружия. Вероятность того, что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, в 19 раз больше, чем вероятность промаха; для карабина вероятность поражения мишени составляет 0,7, а вероятность промаха для автомата 0,4. Стрелок делает 10 выстрелов из наудачу взятого оружия. Какова вероятность, что мишень будет поражена не менее 9 раз?

24. Вратарь парирует в среднем 0,3 всех одиннадцатиметровых штрафных ударов. Какова вероятность того, что он возьмет ровно три из семи мячей?

25. Английский биолог и статистик Пирсон, подбросив 12000 раз монету, получил частость выпадения герба 0,5016. Найти вероятность получения такой частости при повторном опыте.

26. Бросают две монеты одновременно 50 раз. Какова вероятность, что 25 раз на обеих монетах выпал герб?

27. По результатам проверок налоговой инспекцией установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины не менее 480 предприятий.

28. Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,03%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено по крайней мере 2.

29. Абонент принимает в среднем 2 звонка в течение часа. Какова вероятность, что в течение часа поступит менее одного звонка? В течение двух часов поступит ровно 5 звонков?

30. На опытном поле в среднем на 1 м² площади посевов встречается 0,25 стебля сорняков. Определить вероятность того, что на 4 м² окажется хотя бы один сорняк.

31. Посажено 600 семян кукурузы с вероятностью 0,9 прорастания для каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения частости взошедших семян от вероятности , если эта граница должна быть гарантирована с вероятностью .

32. Вероятность выпуска радиолампы с дефектом равна 0,03. Найти максимально возможное отклонение частости от 0,03 среди 2000 радиоламп, чтобы вероятность получить отклонение по абсолютной величине меньшее , была равна 0,9. Указать интервал, в котором будет находиться число радиоламп с дефектом среди 2000 радиоламп.

33. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Рассматривается дискретная случайная величина Х – число выпадений гербов на обеих монетах. Записать закон распределения случайной величины Х.

34. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партии изделие и проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращаются, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и т.д., но всего проверяет не более пяти изделий. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х – числа проверяемых изделий.

35. В некоторой системе имеется важный узел, вероятность безотказной работы которого равна 0,8. Для повышения работы системы этот узел можно дублировать так, чтобы система работала, если работает хотя бы один из дублирующих узлов. Сколько раз надо дублировать узел, чтобы вероятность безотказной работы системы превысила заданный уровень вероятности ?

36. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения

Х
р	0,3	0,5	0,2

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

37. Случайная величина Х распределена по закону:

хi
рi

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

38. Дан закон распределения случайной величины Х.

хi
рi			а	а	0,5

Найти: 1) а; 2) наибольшее значение k, при котором .

39. Случайная величина Х принимает значения 7, –2, 1, –5, 3 с равными вероятностями. Найти среднее значение случайной величины Х и математическое ожидание .

40. Известно, что случайные величины Х и У независимы. , , , . Найти , .

41. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти функцию плотности . Построить графики и .

42. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (2; 3).

43. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х задана функцией

Найдите математическое ожидание случайной величины Х. Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение из интервала (–3; 0,5).

44. Определите закон распределения, найдите математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения для случайной величины Х, если ее плотность вероятностей задана функцией

.

45. Запишите функцию распределения и плотность вероятностей для нормально распределенной случайной величины Х, если ее математическое ожидание , дисперсия .

46. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Считая, что вес клубней распределен нормально, найти вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360 г?

47. Случайная величина Х распределена нормально. Найдите , если и .

48. Найдите для случайной величины Х, распределенной по нормальному закону.

49. Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр .

50. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону: при , при . Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал (0,1; 0,7).

51. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, плотность распределения которой определяется функцией при .

52. Функция плотности равномерного распределения задана графически (рис. 35).

у

С

–2 0 3 х

Рисунок 36

Найти параметр С. Записать функцию распределения и построить ее график. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (0; 5).

53. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений события А в этих опытах отклонится от своего математического ожидания по модулю меньше чем на 50.

ПРИЛОЖЕНИЕ Г