Проверка статистических гипотез. Статистическая гипотеза – это предположение относительно того, каков закон распределения некоторой случайной величины

Статистическая гипотеза – это предположение относительно того, каков закон распределения некоторой случайной величины, каковы величины независимых параметров закона распределения случайной величины и т.д. Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной) и обозначается Н₀. Противоречащая ей гипотеза называется альтернативной (конкурирующей) и обозначается Н₁. Например, если основная гипотеза Н₀ состоит в том, что М = 2, то альтернативными гипотезами могут быть Н₁: Н₂: Н₃: М 2.

Цель проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы на основе выборочных данных принять решение о справедливости нулевой гипотезы.

Основные типы статистических гипотез:

гипотеза о виде закона распределения случайной величины;

гипотеза о числовых значениях параметров генеральной совокупности;

гипотеза об однородности двух или нескольких выборок или некоторых характеристик анализируемых совокупностей;

гипотеза об общем виде модели, описывающей статистическую зависимость между случайными величинами.

Так как проверка статистических гипотез осуществляется на основе выборочных данных, то решение о том, следует ли принимать гипотезу Н₀, имеет вероятностный характер. Результаты принятия решения относительно гипотезы Н₀ показаны в табл. 3.1.

Число – вероятность ошибки Ι рода, называется уровнем значимости. Обычно при фиксированном объеме выборки уровень значимости задан. Снижение вероятностей ошибок Ι и ΙΙ рода возможно за счет увеличения объема выборки.

Проверка статистических гипотез выполняется с помощью статистического критерия (обозначим его К), который является функцией от выборки. Статистический критерий– это формула, по которой определяется мера расхождения результатов выборочного наблюдения с выдвинутой гипотезой Н₀.

Таблица 3.1

Принятие (отклонение) нулевой гипотезы

Гипотеза Н0	Решение относительно Н0
Н0 отклонена	Н0 принята
Верна	Ошибка Ι рода, ее вероятность равна	Правильное решение, его вероятность равна
Неверна	Правильное решение, его вероятность равна	Ошибка ΙΙ рода, ее вероятность равна

В качестве статистического критерия выбирают случайную величину, подчиненную некоторому известному закону распределения в предположении, что Н₀ верна. Мощностью критерия называется величина , т. е. вероятность отклонения гипотезы Н₀ при условии, что она неверна (см. табл. 3.1). Проверка каждого типа статистических гипотез осуществляется с помощью критерия, который является наиболее мощным для данного типа.

Значение критерия К, рассчитываемое по определенным формулам на основе выборочных данных, обозначается К_набл. Значение критерия К, которое разделяет совокупность значений критерия на область допустимых значений (область более правдоподобных значений в отношении Н₀), т. е. область принятия Н₀, и критическую область (область менее правдоподобных значений в отношении Н₀), т. е. область непринятия Н₀, определяется на заданном уровне значимости по таблицам распределения случайной величины, выбранной в качестве критерия, и обозначается К_крит.

Критические области могут быть односторонними или двусторонними:

Правосторонняя критическая область (рис.3.4).

Например, Н₀: Н₁: .

2) Левосторонняя критическая область (рис.3.5).

Например, Н₀: Н₁: .

3) Двусторонняя критическая область (рис.3.6).

Например, Н₀: Н₁: .

Обозначим критическую область . Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

К_набл Н₀ отклоняется, принимается Н₁;

К_набл Н₀ принимается.

Алгоритм проверки статистических гипотез

Сформулировать гипотезы Н₀ и Н₁.

Выбрать уровень значимости .

В соответствии с типом Н₀ выбрать критерий К.

Найти по таблице К_крит.

Вычислить К_набл по выборочным данным и соответствующей критерию формуле.

По виду Н₁ определить тип критической области.

Выяснить: К_набл ? Если «да», то Н₀ отклоняется и принимается Н₁, если «нет», то Н₀ принимается.

Пример 5. В 7 случаях из 10 фирма-конкурент В компании А действовала на рынке так, как будто ей заранее были известны решения, принимаемые компанией А. На уровне значимости определить, случайно ли это, или в фирме А работает осведомитель (инсайдер) фирмы-конкурента.

Решение. Для ответа на вопрос задачи необходимо выяснить, распределена ли случайная величина Х – количество верных решений фирмы В, равномерно или нет (в первом случае нет инсайдера, а во втором – есть).

Выдвигаем гипотезы:

Н₀ – случайная величина распределена равномерно, в этом случае на 5 верных решений приходится 5 неверных;

Н₁ – случайная величина не распределена равномерно.

В качестве критерия для проверки гипотезы о неизвестном законе распределения используют случайную величину (критерий Пирсона). Формула для расчета имеет вид

, (3.13)

где – частота -й группы выборки.

Составим таблицу

m(эмп)i
m(теор)i

и вычислим по формуле (3.13):

определим по таблице (табл. П.4) для и , где – число групп выборки, – число неизвестных параметров предполагаемого закона распределения. Число называют числом степеней свободы.

В нашем примере , т. к. у фирмы В два вида действий – удачные и неудачные; , т. к. у равномерного закона распределения нет неизвестных параметров, следовательно, При и = 3,8. Поскольку =1,6 , гипотезу Н₀ следует принять (рис. 3.4), т. е. на уровне значимости 0,05 можно утверждать, что в фирме В нет инсайдера.

Пример 6. По прогнозу средняя задолженность однотипных предприятий региона должна составить у. д. е. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность = 135 у. д. е., а среднее квадратическое отклонение задолженности составило у. д. е. На уровне значимости выяснить, можно ли принять данный прогноз.

Решение. Выдвинем основную гипотезу Н₀: и альтернативную гипотезу Н₁:

Так как генеральная дисперсия неизвестна, то выберем статистику

Значение найдем по таблице (табл. П.5):

Так как , то гипотезу Н₀ следует отвергнуть (рис. 3.4), т.е. на уровне значимости 5% сделанный прогноз должен быть отвергнут.