Статистические оценки параметров распределения

Значения количественного признака в выборке можно рассматривать как независимые случайные величины. В таком случае нахождение статистической оценки неизвестного параметра теоретического распределения означает отыскание функции от наблюдаемых случайных величин, которая и даст нам приближенное значение искомого параметра. Укажем виды статистических оценок.

Несмещенной называется статистическая оценка , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любой выборке:

(3.6)

Смещенной называется оценка, при которой условие (3.6) не выполняется.

Эффективной называется оценка, которая имеет минимальную дисперсию при заданном объеме выборки п.

Состоятельной называется статистическая оценка типа (3.4), которая при стремится к оцениваемому параметру.

Теперь укажем виды числовых характеристик оценок. Прежде всего, это выборочная средняя

Если значения признака в выборке имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде

(3.7)

Можно показать, что выборочная средняя (3.7) является состоятельной несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины, т. е.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение количественного признака Х от своего среднего значения. Одной из них является исправленная выборочная дисперсия

(3.8)

Можно показать, что исправленная выборочная дисперсия (3.8) является состоятельной несмещенной оценкой дисперсии случайной величины, т.е. Если в формуле (3.8) знаменатель заменить на , то оценка останется состоятельной, но будет смещенной, т.е.

В случае, когда математическое ожидание признака Х известно: , в качестве состоятельной несмещенной оценки для дисперсии можно использовать выборочную дисперсию

(3.9)

Аналогично вводятся оценки для среднего квадратического отклонения:

(3.10)

Пример 3. Выборка задана таблицей распределения количественного признака Х:

1 2 3 5

15 20 10 5.

Найти оценки числовых характеристик признака Х.

Решение. По формуле (3.7) найдем :

По формулам (3.8) и (3.10) получаем: