Свойства функции распределения

1. Значение функции распределения принадлежат отрезку [0; 1], т.е.

2. F(X) – неубывающая функция, т.е. если x₂ > x₁, то F(X₂) ≥ F(X₁).

Следствия. 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a; b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a; b), то:

1. F(X) = 0, при х ≤ а;

2. F(X) = 1, при х ≥ b.

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси Х, то справедливы следующие предельные отношения

Рассмотренные выше свойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины:

1. График расположен в полосе, ограниченной прямыми: у = 0, у = 1 (свойство 1).

2. При возрастании х Î (a; b), график «поднимается вверх» (свойство 2).

3. При х ≤ а ординаты равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице (свойство 3).

Рис.1.

Пример. Известен закон распределения:

X
р	0,3	0,1	0,6

Определить функцию распределения и вычертить ее график.

Решение. При x ≤ 1, F(x) = 0 (свойство 3);

при 1 < x ≤ 4, F(x) = 0,3;

при 4 < x ≤ 8, F(x) = 0,4.

Действительно, при 4 < x₁ ≤ 8, F(x₁) равно вероятности события Х < х₁, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 1 (Р(Х) = 0,3) или значение 4 (Р(Х) = 0,1). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме сложения вероятностей вероятность события Х < х₁ равна сумме: 0,3 + 0,1 = 0,4.

При х > 8, F(x) = 1.

Таким образом,

Рис.2.