Формула Бернулли. Определение.Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний

Определение. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимы относительно А.

Определение. Событие называется сложным, если происходит совмещение несколько простых событий.

Поставим задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз, и следовательно, не осуществится n – k раз.

Подчеркнем, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события:

Искомую вероятность обозначим P_n(k). Поставленную выше задачу можно решить, использовав формулу Бернулли.

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях событие А наступит k раз и не наступит n – k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p^k ∙ q^n-k. Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k элементов: .

Эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех этих сложных событий:

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75. Установить вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит.

Решение. р = 0,75, тогда q – вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна: q = 1 – p = 1 – 0,75 = 0,25.

По формуле Бернулли: